(p, q)-shuffle

En mathématiques, pour deux entiers naturels ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$, un (${\displaystyle {\boldsymbol {p,q}}}$)-shuffle^[1] est^[2],[3] un élément ${\displaystyle \sigma }$ du groupe symétrique ${\displaystyle S_{p+q}}$ des permutations de l'ensemble ${\displaystyle \{1,...,p+q\}}$^[4], tel que

${\displaystyle \sigma (1)<\ldots <\sigma (p)\quad {\rm {et}}\quad \sigma (p+1)<\ldots <\sigma (p+q).}$

Les ${\displaystyle (p,q)}$-shuffles sont en bijection avec — et parfois définis comme^[3],[5] — les partitions de l'ensemble ${\displaystyle p+q-1}$ = ${\displaystyle \{0,...,p+q-1\}}$ en deux sous-ensembles complémentaires ${\displaystyle \mu ,\nu }$ à ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$ éléments, numérotés en croissant :

${\displaystyle \mu _{1}<\ldots <\mu _{p}\quad {\rm {et}}\quad \nu _{1}<\ldots <\nu _{q}.}$

Leur nombre est donc égal au coefficient binomial

${\displaystyle {p+q \choose p}}$

et la signature de la permutation ${\displaystyle \sigma }$ associée à la partition ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$ est égale à^[3]

${\displaystyle (-1)^{\varepsilon (\mu )},\quad {\rm {avec}}\quad \varepsilon (\mu )=\sum _{i=1}^{p}(\mu _{i}-(i-1)).}$