Arc sinus

Dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de la fonction arc sinus est obtenue à partir de la courbe représentative de la restriction de la fonction sinus à l'intervalle ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}$ par la réflexion d'axe la droite d'équation ${\displaystyle y=x}$.

• ${\displaystyle \sin(\arcsin x)=x}$ pour ${\displaystyle x\in [-1;1]}$ ;
• ${\displaystyle \cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$ pour ${\displaystyle x\in [-1;1]}$ ;
• ${\displaystyle \tan(\arcsin x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ pour ${\displaystyle x\in \left]-1;1\right[}$.

Par contre, ${\displaystyle \arcsin(\sin x)=x}$ seulement pour ${\displaystyle x\in \left[-{\dfrac {\pi }{2}},{\dfrac {\pi }{2}}\right]}$.

La formule générale est ${\displaystyle \arcsin(\sin x)=(-1)^{k}(x-k\pi )}$ où ${\displaystyle k}$ est la partie entière de ${\displaystyle {\frac {x}{\pi }}+{\frac {1}{2}}}$.

Comme dérivée d'une bijection réciproque, ${\displaystyle \arcsin }$ est dérivable sur ${\displaystyle ]-1;1[}$ et vérifie : ${\displaystyle \arcsin 'x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$. Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une bijection réciproque et à la relation : ${\displaystyle \cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$.

Si ${\displaystyle |x|\leqslant 1}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin x&=x+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\cdot {\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\cdot {\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\dbinom {2n}{n}}x^{2n+1}}{4^{n}(2n+1)}}.\end{aligned}}}$

(Voir aussi Fonction hypergéométrique#Cas particuliers.)

Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie :

${\displaystyle \arcsin x=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t}$.

Les primitives de l'arc sinus s'obtiennent par intégration par parties :

${\displaystyle \int \arcsin x\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$.

Pour tout réel ${\displaystyle x}$ entre −1 et 1 :${\displaystyle \arccos x+\arcsin x={\frac {\pi }{2}}}$.

De la relation valable pour tout ${\displaystyle z}$ complexe : ${\displaystyle \sin z=-\mathrm {i} \sinh(\mathrm {i} z)}$, on déduit

${\displaystyle \arcsin z=-{\rm {i}}\operatorname {arsinh} ({\rm {i}}z)}$.

D'où l'expression de la fonction arc sinus avec un logarithme complexe :${\displaystyle \arcsin z=-{\rm {i}}\ln \left({\rm {i}}z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)}$, valable pour ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \left]-\infty ,-1\right[\cup \left]1,+\infty \right[}$.

Le développement en série ${\displaystyle \arcsin z=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}{\frac {z^{2n+1}}{4^{n}(2n+1)}}}$ est alors valable pour tout ${\displaystyle z}$ dans le disque fermé de centre 0 et de rayon 1.