Boule (topologie)

Dans un espace métrique ${\displaystyle (E,d)}$^[1] :

• la boule fermée centrée en un point ${\displaystyle P}$ et de rayon réel ${\displaystyle r}$ est l'ensemble ${\displaystyle B'(P,r)}$ des points dont la distance à ${\displaystyle P}$ est inférieure ou égale à ${\displaystyle r}$ :

$${\displaystyle B'(P,r):=\left\{M\in E\,\mid \,d(M,P)\leq r\right\}}$$

• la boule ouverte correspondante est l'ensemble ${\displaystyle B(P,r)}$ des points dont la distance à ${\displaystyle P}$ est strictement inférieure à ${\displaystyle r}$ :

$${\displaystyle B(P,r):=\left\{M\in E\,\mid \,d(M,P)<r\right\}}$$

Cette définition des boules peut être étendue aux espaces pseudométriques qui généralisent la notion d'espace métrique.

Dans un espace vectoriel normé, la boule unité ouverte (resp. fermée) est la boule ouverte (resp. fermée) centrée à l'origine et de rayon 1.

Les boules d'un plan euclidien sont aussi appelées des disques^[1].

Dans un espace métrique ${\displaystyle (X,d)}$, on définit les ouverts comme l'ensemble des parties ${\displaystyle U\subset X}$ telles que^[2] :

pour tout ${\displaystyle x\in U}$, il existe un rayon ${\displaystyle r>0}$ avec ${\displaystyle B(x,r)\subset U}$.

Autrement dit, les boules ouvertes forment une base de la topologie associée à ${\displaystyle d}$^[3]. Et les boules (ouvertes ou fermées) de même centre et de rayons strictement positifs forment un système fondamental de voisinages de ce centre. En se limitant à une suite de rayons arbitrairement petits, on obtient même un système fondamental dénombrable de voisinages^[4],[5].

Ces propriétés expliquent pourquoi les notions de limite et de continuité soient définies à partir des boules ouvertes dans un espace métrique. Elles justifient également la terminologie : une boule ouverte (resp. fermée) est toujours un ouvert (resp. un fermé)^[6].

Toutes les boules d'un espace métrique sont des parties bornées et une partie est bornée si et seulement si elle est contenue dans une boule.

Enfin, les propriétés « être séparable », « être de Lindelöf » et « tout ouvert est une réunion dénombrable de boules ouvertes » sont équivalentes^[7].

Dans un espace vectoriel normé

Dans un espace vectoriel normé, la distance définie par ${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$ est compatible avec la structure d'espace vectoriel^{[N 1]}. Ainsi toutes les boules ouvertes (resp. fermées) de rayons strictement positifs sont semblables par translation et homothétie, et toute boule est symétrique par rapport à son centre^[8].

Sur un espace vectoriel normé réel ou complexe, on peut définir la notion de segment et donc d'ensemble convexe. À l'aide de l'inégalité triangulaire on montre que les boules sont convexes^[9].

Dans un espace vectoriel réel normé, l'intérieur d'une boule fermée est la boule ouverte de même centre et de même rayon, et l'adhérence d'une boule ouverte non vide est la boule fermée correspondante. Par conséquent, la frontière d'une boule non vide est la sphère correspondante. Dans un espace métrique quelconque on a seulement^[4] :

${\displaystyle {\overline {B(P,r)}}\subset {\overline {B'(P,r)}}=B'(P,r)}$ et ${\displaystyle \operatorname {Int} (B'(P,r))\supset \operatorname {Int} (B(P,r))=B(P,r)}$

Le théorème de compacité de Riesz énonce qu'un espace vectoriel réel normé est de dimension finie si et seulement si sa boule unité fermée est compacte^[10].