Processus adiabatique

Étymologie

Le mot adiabatique^Écouterⓘ est construit à partir du grec ἀδιάϐατος / adiabatos (« infranchissable »), dérivé de διαϐαίνω  / diabaínō, « traverser, franchir »^[1],[2].

Un « matériau adiabatique » est imperméable à la chaleur^[2],[3]. Une « enceinte adiabatique » empêche tout échange de chaleur entre un système et son environnement^[4]. Dans ce sens, les mots « atherme » et « athermane » sont synonymes^[5].

Une transformation thermodynamique dans laquelle le système étudié n'échange aucune chaleur avec son environnement est dite « transformation adiabatique » ou « processus adiabatique »^[2],[3]. Dans ce sens, le mot « athermique » est synonyme^[6].

Une « courbe adiabatique », ou plus simplement une « adiabatique », est une courbe représentant une transformation adiabatique dans un diagramme thermodynamique^[3].

Un corps qui laisse passer la chaleur est dit « diathermane », « diatherme » ou « diathermique »^{[4],[7],[8],[9],[10]}. Le terme « diabatique » est parfois utilisé, particulièrement en météorologie^{[11],[12],[13],[14]}.

Processus adiabatique

Le premier principe de la thermodynamique énonce que, lors d'une transformation quelconque, la variation d'énergie interne ${\displaystyle U}$ d'un système fermé (qui n'échange pas de matière avec l'extérieur) est égale à la somme du travail ${\displaystyle W}$ et de la chaleur ${\displaystyle Q}$ échangés entre ce système et son extérieur. Pour une transformation élémentaire (donnant lieu à une petite variation des paramètres décrivant le système), on a alors :

Premier principe de la thermodynamique : ${\displaystyle \mathrm {d} U=\delta W+\delta Q}$

Le travail des forces (notamment la pression) agissant sur le système durant la transformation est un transfert ordonné d'énergie mécanique. La chaleur est un transfert désordonné d'énergie thermique.

Un processus adiabatique est par définition une transformation sans aucun transfert thermique, c'est-à-dire sans échange de chaleur, soit ${\displaystyle \delta Q=0}$. La variation d'énergie interne du système est égale au seul transfert d'énergie mécanique par le travail des forces appliquées sur le système^[15],[16] :

Processus adiabatique ${\displaystyle \delta Q=0\quad$ ;\quad \mathrm {d} U=\delta W}

Processus isentropique et réversibilité

Le deuxième principe de la thermodynamique introduit l'entropie ${\displaystyle S}$ définie par l'inégalité de Clausius :

Entropie, inégalité de Clausius : ${\displaystyle \mathrm {d} S\geq {\delta Q \over T}}$

avec ${\displaystyle T}$ la température absolue. La transformation est^[17] :

• irréversible si ${\displaystyle \mathrm {d} S>{\delta Q \over T}}$ ;
• réversible si ${\displaystyle \mathrm {d} S={\delta Q \over T}}$.

Un processus isentropique est une transformation dans laquelle l'entropie ne varie pas, soit ${\displaystyle \mathrm {d} S=0}$. On peut par conséquent établir que^[17],[18] :

• un processus adiabatique et irréversible n'est pas isentropique :

on a ${\displaystyle \delta Q=0}$ et ${\displaystyle \mathrm {d} S>\delta Q/T}$ d'où ${\displaystyle \mathrm {d} S>0}$ ;

• un processus adiabatique et réversible est isentropique :

on a ${\displaystyle \delta Q=0}$ et ${\displaystyle \mathrm {d} S=\delta Q/T}$ d'où ${\displaystyle \mathrm {d} S=0}$ ;

• un processus isentropique et irréversible n'est pas adiabatique :

on a ${\displaystyle \mathrm {d} S=0}$ et ${\displaystyle \mathrm {d} S>\delta Q/T}$ d'où ${\displaystyle \delta Q<0}$ ;

• un processus isentropique et réversible est adiabatique :

on a ${\displaystyle \mathrm {d} S=0}$ et ${\displaystyle \mathrm {d} S=\delta Q/T}$ d'où ${\displaystyle \delta Q=0}$.

Il n'y a par conséquent pas d'équivalence entre les termes « adiabatique » et « isentropique ». Une transformation n'est à la fois adiabatique et isentropique que si elle est réversible^[18].

Processus adiabatique irréversible ${\displaystyle \mathrm {d} S>0}$ ; réversible ${\displaystyle \mathrm {d} S=0}$ (isentropique).

La variation élémentaire de l'énergie interne s'écrit alors :

${\displaystyle \mathrm {d} U=\delta W+T\,\mathrm {d} S-\left[T\,\mathrm {d} S-\delta Q\right]}$

Le terme ${\displaystyle -\left[T\,\mathrm {d} S-\delta Q\right]\leq 0}$ peut être dû à une réaction chimique ou au travail irrécupérable et dissipé en chaleur de forces comme celles de frottement ou de viscosité.

Efficacité énergétique

L'efficacité énergétique est définie comme le rapport entre le travail fourni par le système et l'énergie utilisée pour fournir ce travail.

Dans un processus adiabatique, par définition, la variation d'énergie interne ${\displaystyle U}$ du système est égale au seul transfert d'énergie mécanique par le travail ${\displaystyle W}$ de forces appliquées sur le système, car les transferts thermiques sont nuls, d'où :

${\displaystyle {\delta W \over \mathrm {d} U}=1}$

Cela revient à dire que l'efficacité énergétique d'un processus adiabatique est par définition de 100 %, ou bien qu'il n'y a aucune perte ni aucune addition d'énergie thermique durant le processus adiabatique. Cela suppose en particulier qu'il n'y ait ni frottement ni viscosité, forces dont le travail irrécupérable dissipe de l'énergie sous forme de chaleur. Un processus adiabatique est donc un cas idéal.

Variation de l'énergie interne du système, travail

Que la transformation adiabatique soit irréversible ou réversible, le premier principe de la thermodynamique induit que la variation de l'énergie interne ${\displaystyle U}$ du système étudié est égale au travail reçu par le système. Si ce travail n'est dû qu'à la force de la pression extérieure ${\displaystyle P_{\text{ext}}}$, alors :

${\displaystyle \mathrm {d} U=\delta W=-P_{\text{ext}}\,\mathrm {d} V}$

D'autre part, de façon générale, un gaz parfait répond à la première loi de Joule :

${\displaystyle \mathrm {d} U=C_{V}\,\mathrm {d} T}$

avec ${\displaystyle C_{V}}$ la capacité thermique isochore. On intègre en considérant ${\displaystyle C_{V}}$ comme constante entre un état initial ${\displaystyle {\text{i}}}$ et un état final ${\displaystyle {\text{f}}}$ :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta U&=W=-\int _{\text{i}}^{\text{f}}P_{\text{ext}}\,\mathrm {d} V\\&=\int _{\text{i}}^{\text{f}}C_{V}\,\mathrm {d} T=C_{V}\,\left(T_{\text{f}}-T_{\text{i}}\right)\end{aligned}}}$

La relation de Mayer ${\displaystyle C_{P}-C_{V}=nR}$ permet d'écrire :

${\displaystyle C_{V}={nR \over \gamma -1}}$

avec ${\displaystyle C_{P}}$ la capacité thermique isobare et ${\displaystyle \gamma =C_{P}/C_{V}}$ le coefficient de Laplace. On a donc^[19] :

avec, selon la loi des gaz parfaits, ${\displaystyle P_{\text{f}}V_{\text{f}}=nRT_{\text{f}}}$ pour l'état final et ${\displaystyle P_{\text{i}}V_{\text{i}}=nRT_{\text{i}}}$ pour l'état initial.

Variation de l'entropie du système, loi de Laplace

Les gaz parfaits répondent aux deux lois de Joule quant à leur énergie interne ${\displaystyle U}$ et leur enthalpie ${\displaystyle H}$ :

${\displaystyle \mathrm {d} U=-P\,\mathrm {d} V+T\,\mathrm {d} S=C_{V}\,\mathrm {d} T}$

${\displaystyle \mathrm {d} H=V\,\mathrm {d} P+T\,\mathrm {d} S=C_{P}\,\mathrm {d} T}$

On obtient donc^[20] :

${\displaystyle T\,\mathrm {d} S=C_{V}\,\mathrm {d} T+P\,\mathrm {d} V=C_{P}\,\mathrm {d} T-V\,\mathrm {d} P}$

On considère les capacités thermiques ${\displaystyle C_{P}}$ et ${\displaystyle C_{V}}$ comme constantes. Avec la relation de Mayer ${\displaystyle C_{P}-C_{V}=nR}$ et la loi des gaz parfaits ${\displaystyle PV=nRT}$, on obtient :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} S&=C_{V}\,{\mathrm {d} T \over T}+nR\,{\mathrm {d} V \over V}=C_{V}\,\mathrm {d} \ln \left(TV^{\gamma -1}\right)\\&=C_{P}\,{\mathrm {d} T \over T}-nR\,{\mathrm {d} P \over P}=C_{V}\,\mathrm {d} \ln \left(T^{\gamma }P^{1-\gamma }\right)\\&=C_{V}\,{\mathrm {d} P \over P}+C_{P}\,{\mathrm {d} V \over V}=C_{V}\,\mathrm {d} \ln \left(PV^{\gamma }\right)\end{aligned}}}$

Soit une transformation d'un gaz parfait entre l'état initial ${\displaystyle {\text{i}}}$ et l'état final ${\displaystyle {\text{f}}}$. L'intégration de ces expression donne :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta S&=C_{V}\,\ln {T_{\text{f}} \over T_{\text{i}}}+nR\,\ln {V_{\text{f}} \over V_{\text{i}}}=C_{V}\,\ln \left({T_{\text{f}}{V_{\text{f}}}^{\gamma -1} \over T_{\text{i}}{V_{\text{i}}}^{\gamma -1}}\right)\\&=C_{P}\,\ln {T_{\text{f}} \over T_{\text{i}}}-nR\,\ln {P_{\text{f}} \over P_{\text{i}}}=C_{V}\,\ln \left({{T_{\text{f}}}^{\gamma }{P_{\text{f}}}^{1-\gamma } \over {T_{\text{i}}}^{\gamma }{P_{\text{i}}}^{1-\gamma }}\right)\\&=C_{V}\,\ln {P_{\text{f}} \over P_{\text{i}}}+C_{P}\,\ln {V_{\text{f}} \over V_{\text{i}}}=C_{V}\,\ln \left({P_{\text{f}}{V_{\text{f}}}^{\gamma } \over P_{\text{i}}{V_{\text{i}}}^{\gamma }}\right)\end{aligned}}}$

Pour les transformations adiabatiques irréversibles (${\displaystyle \Delta S>0}$), on a :

${\displaystyle {T_{\text{f}}{V_{\text{f}}}^{\gamma -1} \over T_{\text{i}}{V_{\text{i}}}^{\gamma -1}}>1}$ ; ${\displaystyle {{T_{\text{f}}}^{\gamma }{P_{\text{f}}}^{1-\gamma } \over {T_{\text{i}}}^{\gamma }{P_{\text{i}}}^{1-\gamma }}>1}$ ; ${\displaystyle {P_{\text{f}}{V_{\text{f}}}^{\gamma } \over P_{\text{i}}{V_{\text{i}}}^{\gamma }}>1}$

et, pour les transformations adiabatiques réversibles (${\displaystyle \Delta S=0}$), on obtient la loi de Laplace^{[21],[22],[23]} :

Loi de Laplace processus adiabatique réversible d'un gaz parfait ${\displaystyle T_{\text{f}}{V_{\text{f}}}^{\gamma -1}=T_{\text{i}}{V_{\text{i}}}^{\gamma -1}}$ ${\displaystyle {T_{\text{f}}}^{\gamma }{P_{\text{f}}}^{1-\gamma }={T_{\text{i}}}^{\gamma }{P_{\text{i}}}^{1-\gamma }}$ ${\displaystyle P_{\text{f}}{V_{\text{f}}}^{\gamma }=P_{\text{i}}{V_{\text{i}}}^{\gamma }}$

La relation de Mayer induit que ${\displaystyle \gamma >1}$. Pour un gaz parfait monoatomique, tels les gaz nobles (hélium, argon, etc.), ${\displaystyle \gamma }$ = 5/3 ≈ 1,67 à toute température. Pour un gaz diatomique (tels l'azote et l'oxygène, les principaux composants de l'air, etc.) proche de 25 °C, ${\displaystyle \gamma }$ = 7/5 = 1,4. Pour un gaz triatomique (vapeur d'eau, dioxyde de carbone, méthane, ammoniac, etc.), ${\displaystyle \gamma }$ ≈ 1,3.

${\displaystyle T\,V^{\gamma -1}={\text{constante}}}$ ou ${\displaystyle T\propto V^{1-\gamma }}$ ou ${\displaystyle V\propto T^{1 \over 1-\gamma }}$

Une transformation adiabatique réversible fait varier le volume dans le sens inverse de la température : la température augmente lorsque le volume diminue.

${\displaystyle T^{\gamma }\,P^{1-\gamma }={\text{constante}}}$ ou ${\displaystyle T\propto P^{1-{1 \over \gamma }}}$ ou ${\displaystyle P\propto T^{\gamma \over \gamma -1}}$

Une transformation adiabatique réversible fait varier la pression dans le même sens que la température : la pression augmente lorsque la température augmente.

${\displaystyle P\,V^{\gamma }={\text{constante}}}$ ou ${\displaystyle P\propto V^{-\gamma }}$ ou ${\displaystyle V\propto P^{-{1 \over \gamma }}}$

Une transformation adiabatique réversible fait varier la pression dans le sens inverse du volume : la pression augmente lorsque le volume diminue.

Exemple

Conditions opératoires

Soit une quantité ${\displaystyle n}$ de gaz parfait dans un cylindre adiabatique sur le piston mobile duquel est posée une masse. Initialement, le gaz est à l'équilibre mécanique avec l'extérieur dans les conditions connues ${\displaystyle P_{\text{i}}}$, ${\displaystyle V_{\text{i}}}$ et ${\displaystyle T_{\text{i}}}$. La pression extérieure ${\displaystyle P_{\text{ext}}}$, initialement égale à ${\displaystyle P_{\text{i}}}$, est modifiée en modifiant la masse sur le piston ; cette opération peut être brutale ou progressive, la masse peut être augmentée ou diminuée. La pression extérieure finale est connue et vaut ${\displaystyle P^{\circ }}$. Lorsque le système est de nouveau à l'équilibre avec l'extérieur, le gaz est dans les conditions ${\displaystyle P_{\text{f}}}$, ${\displaystyle V_{\text{f}}}$ et ${\displaystyle T_{\text{f}}}$, inconnues^[24].

En application du premier principe de la thermodynamique, l'énergie interne ${\displaystyle U}$ du système, en l'absence d'échange de chaleur avec l'extérieur, varie selon :

${\displaystyle \mathrm {d} U=\delta W=-P_{\text{ext}}\,\mathrm {d} V}$

En l'absence de réaction chimique, la variation élémentaire de ${\displaystyle U}$ du système s'écrit de façon générale^[24] :

${\displaystyle \mathrm {d} U=-P\,\mathrm {d} V+T\,\mathrm {d} S}$

Puisque l'entropie ${\displaystyle S}$ d'un système subissant une transformation adiabatique ne peut qu'augmenter, soit ${\displaystyle \mathrm {d} S\geq 0}$, et que la température thermodynamique ${\displaystyle T}$ est positive, la condition d'évolution du système s'écrit :

Condition d'évolution du système : ${\displaystyle -\left(P-P_{\text{ext}}\right)\,\mathrm {d} V=-T\,\mathrm {d} S\leq 0}$

On en déduit :

• que la transformation est irréversible (${\displaystyle \mathrm {d} S>0}$) si ${\displaystyle P\neq P_{\text{ext}}}$ ; à un moment au cours de la transformation, le système n'est pas à l'équilibre mécanique avec l'extérieur ;
  • si ${\displaystyle P>P_{\text{ext}}}$, alors ${\displaystyle \mathrm {d} V>0}$ : le gaz subit une détente ;
  • si ${\displaystyle P<P_{\text{ext}}}$, alors ${\displaystyle \mathrm {d} V<0}$ : le gaz subit une compression ;
• que la transformation est réversible (${\displaystyle \mathrm {d} S=0}$) si ${\displaystyle P=P_{\text{ext}}}$ ; au cours de la transformation, le système est en permanence à l'équilibre mécanique avec l'extérieur.

En fin de transformation, on a pour la pression du gaz ${\displaystyle P=P_{\text{f}}}$ et pour la pression exercée par le piston ${\displaystyle P_{\text{ext}}=P^{\circ }}$. Que la transformation soit irréversible ou réversible, à son issue le système atteint un nouvel équilibre, l'entropie ${\displaystyle S}$ du système atteint un maximum et ne varie plus, soit ${\displaystyle \mathrm {d} S=0}$. La condition d'évolution du système donne alors ${\displaystyle -\left(P_{\text{f}}-P^{\circ }\right)\,\mathrm {d} V=0}$. Cela impose l'équilibre mécanique en fin de transformation^[24] :

Condition d'équilibre final : ${\displaystyle P=P_{\text{f}}=P_{\text{ext}}=P^{\circ }}$ Équilibre mécanique, que la transformation soit irréversible ou réversible.

Pour l'énergie interne d'un gaz parfait, la première loi de Joule donne également^[24] :

${\displaystyle \mathrm {d} U=C_{V}\,\mathrm {d} T}$

On a donc pour un gaz parfait^[24] :

(a) : ${\displaystyle \mathrm {d} U=-P\,\mathrm {d} V+T\,\mathrm {d} S=C_{V}\,\mathrm {d} T=\delta W=-P_{\text{ext}}\,\mathrm {d} V}$

Transformation irréversible à pression extérieure constante

La modification de la masse posée sur le piston est effectuée brutalement. L'extérieur, exerçant initialement la pression ${\displaystyle P_{\text{ext}}=P_{\text{i}}}$, est considéré durant toute la transformation comme un pressostat à pression ${\displaystyle P_{\text{ext}}=P_{\text{f}}=P^{\circ }}$ constante. En considérant ${\displaystyle C_{V}}$ comme une constante, on obtient en intégrant la relation (a)^[24] :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta U&=C_{V}\,\left(T_{\text{f}}-T_{\text{i}}\right)={1 \over \gamma -1}\left(P_{\text{f}}V_{\text{f}}-P_{\text{i}}V_{\text{i}}\right)\\&=W=-P_{\text{f}}\,\left(V_{\text{f}}-V_{\text{i}}\right)\end{aligned}}}$

Par ailleurs, la loi des gaz parfaits donne^[24] :

${\displaystyle {P_{\text{f}}V_{\text{f}} \over T_{\text{f}}}={P_{\text{i}}V_{\text{i}} \over T_{\text{i}}}=nR}$

En posant ${\displaystyle x={P_{\text{f}}-P_{\text{i}} \over P_{\text{i}}}}$, on obtient^[24] :

(b) : ${\displaystyle {T_{\text{f}} \over T_{\text{i}}}=1+x{\gamma -1 \over \gamma }}$ (c) : ${\displaystyle {V_{\text{f}} \over V_{\text{i}}}=1-{x \over x+1}{1 \over \gamma }}$

La relation de Mayer implique que ${\displaystyle \gamma >1}$. Selon ${\displaystyle x}$, on a :

• pour ${\displaystyle -1<x<0}$, une détente : ${\displaystyle P_{\text{f}}<P_{\text{i}}}$, ${\displaystyle T_{\text{f}}<T_{\text{i}}}$ et ${\displaystyle V_{\text{f}}>V_{\text{i}}}$ ;
• pour ${\displaystyle x>0}$, une compression : ${\displaystyle P_{\text{f}}>P_{\text{i}}}$, ${\displaystyle T_{\text{f}}>T_{\text{i}}}$ et ${\displaystyle V_{\text{f}}<V_{\text{i}}}$.

La variation totale d'entropie du système lors de la transformation peut s'écrire, en considérant la capacité thermique isochore ${\displaystyle C_{V}}$ et le coefficient de Laplace ${\displaystyle \gamma }$ comme constants^[24] :

${\displaystyle \Delta S=C_{V}\,\ln {T_{\text{f}} \over T_{\text{i}}}+nR\,\ln {V_{\text{f}} \over V_{\text{i}}}}$

En utilisant la relation ${\displaystyle \forall X>0}$, ${\displaystyle \ln X\geq 1-{1 \over X}}$ (l'égalité n'étant vraie que si ${\displaystyle X=1}$), on a^[24] :

• puisque ${\displaystyle T_{\text{f}}\neq T_{\text{i}}}$ :

${\displaystyle C_{V}\,\ln {T_{\text{f}} \over T_{\text{i}}}>C_{V}\left(1-{T_{\text{i}} \over T_{\text{f}}}\right)={C_{V} \over T_{\text{f}}}\left(T_{\text{f}}-T_{\text{i}}\right)={\Delta U \over T_{\text{f}}}}$

• puisque ${\displaystyle V_{\text{f}}\neq V_{\text{i}}}$ :

${\displaystyle nR\,\ln {V_{\text{f}} \over V_{\text{i}}}>nR\left(1-{V_{\text{i}} \over V_{\text{f}}}\right)={nR \over V_{\text{f}}}\left(V_{\text{f}}-V_{\text{i}}\right)={nRT_{\text{f}} \over V_{\text{f}}}{1 \over T_{\text{f}}}\left(V_{\text{f}}-V_{\text{i}}\right)={P_{\text{f}} \over T_{\text{f}}}\left(V_{\text{f}}-V_{\text{i}}\right)=-{W \over T_{\text{f}}}}$

En conséquence, à la fin de la transformation étudiée, on a :

${\displaystyle \Delta S>{\Delta U-W \over T_{\text{f}}}=0}$

Transformation inverse.

Le système est initialement dans l'état ${\displaystyle P_{\text{i}},V_{\text{i}},T_{\text{i}}}$. On effectue deux transformations successives :

• dans la première, la masse posée sur le piston mobile est modifiée et la pression devient ${\displaystyle P_{1}}$ ; l'état final est ${\displaystyle P_{1},V_{1},T_{1}}$ ;

on pose ${\displaystyle x_{1}={P_{1}-P_{\text{i}} \over P_{\text{i}}}}$ ;

• dans la deuxième, la masse est rétablie à sa valeur initiale et la pression redevient ${\displaystyle P_{\text{i}}}$ ; l'état final est ${\displaystyle P_{\text{i}},V_{2},T_{2}}$ ;

on pose ${\displaystyle x_{2}={P_{\text{i}}-P_{1} \over P_{1}}}$.

Cela revient à mettre le système initialement à la pression ${\displaystyle P_{\text{i}}}$ en contact avec un premier pressostat à pression ${\displaystyle P_{1}}$, puis avec un deuxième pressostat à pression ${\displaystyle P_{\text{i}}}$. ${\displaystyle x_{1}}$ est connue, et on a :

${\displaystyle x_{2}=-{x_{1} \over x_{1}+1}}$

Les relations (b) et (c) donnent pour la première transformation^[24] :

${\displaystyle {T_{1} \over T_{\text{i}}}=1+x_{1}{\gamma -1 \over \gamma }}$

${\displaystyle {V_{1} \over V_{\text{i}}}=1-{x_{1} \over x_{1}+1}{1 \over \gamma }}$

et pour la deuxième transformation^[24] :

${\displaystyle {T_{2} \over T_{1}}=1+x_{2}{\gamma -1 \over \gamma }}$

${\displaystyle {V_{2} \over V_{1}}=1-{x_{2} \over x_{2}+1}{1 \over \gamma }}$

Par conséquent^[24] :

${\displaystyle {T_{2} \over T_{\text{i}}}={V_{2} \over V_{\text{i}}}=1+{{x_{1}}^{2} \over x_{1}+1}{\gamma -1 \over \gamma ^{2}}\neq 1}$

On obtient en fonction de ${\displaystyle x_{1}}$^[24] :

• pour ${\displaystyle -1<x_{1}<0}$ :
  • la première transformation est une détente, la deuxième une compression ;
  • ${\displaystyle T_{2}>T_{\text{i}}>T_{1}}$ et ${\displaystyle V_{1}>V_{2}>V_{\text{i}}}$ ;
• pour ${\displaystyle x_{1}>0}$ :
  • la première transformation est une compression, la deuxième une détente ;
  • ${\displaystyle T_{1}>T_{2}>T_{\text{i}}}$ et ${\displaystyle V_{2}>V_{\text{i}}>V_{1}}$.

Dans les deux cas, en fin de deuxième transformation, le gaz est plus chaud qu'initialement (${\displaystyle T_{2}>T_{\text{i}}}$), et le piston se trouve plus haut que sa position initiale (${\displaystyle V_{2}>V_{\text{i}}}$). À l'issue des deux transformations, la pression du système est revenue à la pression initiale ${\displaystyle P_{\text{i}}}$, mais le système n'est pas revenu à son état initial : la transformation est donc irréversible^[24],[25].

 

Transformation réversible

La transformation est réversible si le système et l'extérieur sont en équilibre mécanique permanent (voir section Conditions opératoires)^[24] :

Au cours d'une transformation adiabatique réversible, ${\displaystyle P=P_{\text{ext}}}$ en permanence.

La pression est modifiée progressivement et lentement de ${\displaystyle P_{\text{i}}}$ à ${\displaystyle P_{\text{f}}}$ (processus quasi statique), par exemple en remplaçant la masse sur le piston par un tas de sable équivalent que l'on modifie grain par grain^[25]. Connaissant ${\displaystyle P_{\text{f}}}$, imposée par la masse finale sur le piston, la loi de Laplace donne^[24] :

${\displaystyle {T_{\text{f}} \over T_{\text{i}}}=\left({P_{\text{f}} \over P_{\text{i}}}\right)^{\gamma -1 \over \gamma }}$

${\displaystyle {V_{\text{f}} \over V_{\text{i}}}=\left({P_{\text{f}} \over P_{\text{i}}}\right)^{-{1 \over \gamma }}}$

En posant ${\displaystyle x={P_{\text{f}}-P_{\text{i}} \over P_{\text{i}}}}$, on peut également écrire :

(d) : ${\displaystyle {T_{\text{f}} \over T_{\text{i}}}=\left(x+1\right)^{\gamma -1 \over \gamma }}$ (e) : ${\displaystyle {V_{\text{f}} \over V_{\text{i}}}=\left(x+1\right)^{-{1 \over \gamma }}}$

Transformation inverse.

Le système est initialement dans l'état ${\displaystyle P_{\text{i}},V_{\text{i}},T_{\text{i}}}$. On effectue deux transformations successives :

• dans la première, la masse posée sur le piston mobile est modifiée et la pression devient ${\displaystyle P_{1}}$ ; l'état final est ${\displaystyle P_{1},V_{1},T_{1}}$ ;
• dans la deuxième, la masse est rétablie à sa valeur initiale et la pression redevient ${\displaystyle P_{\text{i}}}$ ; l'état final est ${\displaystyle P_{\text{i}},V_{2},T_{2}}$.

Les relations (d) et (e) donnent pour la première transformation :

${\displaystyle {T_{1} \over T_{\text{i}}}=\left({P_{1} \over P_{\text{i}}}\right)^{\gamma -1 \over \gamma }}$

${\displaystyle {V_{1} \over V_{\text{i}}}=\left({P_{1} \over P_{\text{i}}}\right)^{-{1 \over \gamma }}}$

et pour la deuxième transformation :

${\displaystyle {T_{2} \over T_{1}}=\left({P_{\text{i}} \over P_{1}}\right)^{\gamma -1 \over \gamma }}$

${\displaystyle {V_{2} \over V_{1}}=\left({P_{\text{i}} \over P_{1}}\right)^{-{1 \over \gamma }}}$

Par conséquent :

${\displaystyle {T_{2} \over T_{\text{i}}}={T_{2} \over T_{1}}{T_{1} \over T_{\text{i}}}=\left({P_{\text{i}} \over P_{1}}{P_{1} \over P_{\text{i}}}\right)^{\gamma -1 \over \gamma }=1}$

${\displaystyle {V_{2} \over V_{\text{i}}}={V_{2} \over V_{1}}{V_{1} \over V_{\text{i}}}=\left({P_{\text{i}} \over P_{1}}{P_{1} \over P_{\text{i}}}\right)^{-{1 \over \gamma }}=1}$

À l'issue des deux transformations, la pression du système est revenue à la pression initiale ${\displaystyle P_{\text{i}}}$, la température à la température initiale ${\displaystyle T_{\text{i}}}$ et le volume au volume initial ${\displaystyle V_{\text{i}}}$ ; le système est revenu à son état initial : la transformation est donc réversible.

 

Travail irréversible et travail réversible

On suppose les mêmes conditions initiales ${\displaystyle P_{\text{i}},V_{\text{i}},T_{\text{i}}}$ et la même pression finale ${\displaystyle P_{\text{f}}}$ pour les deux transformations décrites ci-dessus. Les conditions finales de la transformation irréversible sont notées ${\displaystyle V_{\text{f}}^{i},T_{\text{f}}^{i}}$ et celles de la transformation réversible ${\displaystyle V_{\text{f}}^{r},T_{\text{f}}^{r}}$.

Avec ${\displaystyle x={P_{\text{f}}-P_{\text{i}} \over P_{\text{i}}}}$, on a le travail des deux transformations^[24] :

• pour la transformation adiabatique irréversible à pression extérieure constante :

${\displaystyle \Delta U^{i}=W^{i}=C_{V}\,\left(T_{\text{f}}^{i}-T_{\text{i}}\right)}$

${\displaystyle {T_{\text{f}}^{i} \over T_{\text{i}}}=1+x{\gamma -1 \over \gamma }}$ (relation (b))

• pour la transformation adiabatique réversible :

${\displaystyle \Delta U^{r}=W^{r}=C_{V}\,\left(T_{\text{f}}^{r}-T_{\text{i}}\right)}$

${\displaystyle {T_{\text{f}}^{r} \over T_{\text{i}}}=\left(x+1\right)^{\gamma -1 \over \gamma }}$ (relation (d))

Lors d'une détente adiabatique, soit ${\displaystyle 0<P_{\text{f}}<P_{\text{i}}}$ et ${\displaystyle -1<x<0}$, on a ${\displaystyle T_{\text{i}}>T_{\text{f}}^{i}>T_{\text{f}}^{r}}$, d'où ${\displaystyle W^{r}<W^{i}<0}$. À pression finale ${\displaystyle P_{\text{f}}}$ identique, une détente adiabatique réversible fournit plus de travail à l'extérieur qu'une détente adiabatique irréversible (en valeur absolue, ${\displaystyle |W^{r}|>|W^{i}|}$) : dans une détente irréversible, une partie du travail créé par le système est dégradée en chaleur^[24].

Lors d'une compression adiabatique, soit ${\displaystyle P_{\text{f}}>P_{\text{i}}}$ et ${\displaystyle x>0}$, on a ${\displaystyle T_{\text{f}}^{i}>T_{\text{f}}^{r}>T_{\text{i}}}$, d'où ${\displaystyle W^{i}>W^{r}>0}$. Pour obtenir la même pression finale ${\displaystyle P_{\text{f}}}$, il faut fournir plus de travail au gaz dans une compression adiabatique irréversible que dans une compression adiabatique réversible : dans une compression irréversible, une partie du travail fourni au système est dégradée en chaleur^[24].

Expression du travail réversible.

De façon générale, que la transformation adiabatique soit irréversible ou réversible, on a :

${\displaystyle \Delta U=W={1 \over \gamma -1}\left(P_{\text{f}}V_{\text{f}}-P_{\text{i}}V_{\text{i}}\right)}$

Lors d'une transformation réversible, la loi de Laplace est valable à tout instant, d'où :

${\displaystyle PV^{\gamma }=P_{\text{f}}{V_{\text{f}}}^{\gamma }=P_{\text{i}}{V_{\text{i}}}^{\gamma }=C={\text{constante}}}$

La pression du système étant à tout instant égale à la pression extérieure, soit ${\displaystyle P=P_{\text{ext}}}$, on vérifie :

${\displaystyle {\begin{aligned}W^{r}&=-\int _{\text{i}}^{\text{f}}P_{\text{ext}}\,\mathrm {d} V=-\int _{\text{i}}^{\text{f}}P\,\mathrm {d} V=-\int _{\text{i}}^{\text{f}}C\,{\mathrm {d} V \over V^{\gamma }}\\&=-\left[-{C \over \left(\gamma -1\right)V^{\gamma -1}}\right]_{\text{i}}^{\text{f}}={1 \over \gamma -1}\left[{PV^{\gamma } \over V^{\gamma -1}}\right]_{\text{i}}^{\text{f}}={1 \over \gamma -1}{\Big [}PV{\Big ]}_{\text{i}}^{\text{f}}\\&={1 \over \gamma -1}\left(P_{\text{f}}V_{\text{f}}^{r}-P_{\text{i}}V_{\text{i}}\right)\end{aligned}}}$

 

Applications diverses

La compression adiabatique explique l'échauffement d'une pompe à vélo alors que celle-ci ne reçoit pas de chaleur lorsque le gaz est comprimé. Inversement, la détente adiabatique explique le refroidissement de l'air sortant de la valve d'un pneu qui se dégonfle^[26].

La compression adiabatique explique le risque de « coup de feu » dans les détendeurs d'oxygène. Lorsque l'on ouvre le détendeur d'une bouteille à 200 bar, la pression augmente dans la tuyauterie en aval de celui-ci et provoque un échauffement du gaz qui peut monter à plus de 1 000 °C. Si le détendeur contient un corps inflammable (corps gras, poussières, insectes, résidus de chiffon, joint non conforme…), celui-ci peut s'enflammer (il est en présence de 100 % d'oxygène), provoquer une oxydation exothermique du métal avec un effet similaire à un chalumeau et perforer le détendeur^[27],[28].

La détente adiabatique est utilisée pour refroidir dans les réfrigérateurs, climatiseurs et groupes frigorifiques. Elle est également utilisée pour la dessiccation dans le procédé de détente instantanée contrôlée (DIC).

Cycle de Carnot

Le cycle de Carnot est le cycle thermodynamique idéal ayant l'efficacité thermodynamique la plus élevée possible pour une machine thermique ditherme (exploitant deux sources de chaleur). Durant ce cycle, s'il est moteur (s'il produit du travail), le gaz subit successivement une détente isotherme (à température constante) réversible, une détente adiabatique réversible, une compression isotherme réversible et une compression adiabatique réversible^[29]. Tous les cycles moteurs existants (Stirling, Diesel, Beau de Rochas…) et imaginables ont une efficacité inférieure à celle du cycle de Carnot correspondant.

Dans les cycles récepteurs (consommant du travail pour transférer de la chaleur), les quatre processus sont effectués dans l'ordre inverse ; le cycle représenté dans le diagramme ci-contre est parcouru dans le sens inverse. Tout cycle de réfrigérateur ou de pompe à chaleur a une efficacité inférieure à celle du cycle de Carnot correspondant.

Refroidissement adiabatique

Le refroidissement adiabatique est une méthode de rafraîchissement d'air par échange de chaleur avec de l'eau aussi appelée « bioclimatisation », « rafraîchissement d'air par évaporation » ou « climatisation naturelle ». Elle peut être déclinée dans la plupart des bâtiments, d'une pièce unique au grand bâtiment industriel^{[30],[31],[32]} en passant par les bâtiments tertiaires^[33]

Le principe consiste à faire passer de l'air chaud et sec à travers un aérosol d'eau plus froide, ce qui induit une évaporation partielle de celle-ci. L'énergie nécessaire à l'évaporation de l'eau est extraite de l'air, qui est ainsi refroidi et humidifié. Si l'on excepte le pompage et la pulvérisation de l'eau qui alimente le système, la seule énergie consommée est le travail du ventilateur nécessaire à la circulation de l'air à travers le flux d'eau^{[34],[35],[36]}.

La technique peut être déclinée en trois grandes configurations^[37]. Le système adiabatique direct consiste à faire traverser un média humide par le flux d'air extérieur, abaissant sa température tout en augmentant son hygrométrie, ce qui s'avère particulièrement efficient pour la régulation thermique des grands volumes industriels. Le système adiabatique indirect classique utilise un échangeur de chaleur à plaques (flux croisés ou contre-flux) permettant de refroidir l’air insufflé sans apport d'humidité, bien que son efficacité soit physiquement limitée par la température de bulbe humide de l'air primaire (généralement entre 60 et 70 %). Le système indirect multi-cycles, fondé sur le cycle de Maisotsenko (M-Cycle), fractionne le flux d'air pour saturer progressivement l'air rejeté, permettant d'abaisser la température de l'air insufflé en deçà de la température de bulbe humide initiale. Cette méthode atteint des rendements dépassant théoriquement 100 % sur la dépression du bulbe humide, délivrant un air entre 15 et 20 °C sans humidification du flux secondaire.

Diagrammes thermodynamiques en météorologie

En météorologie, la compression adiabatique et la détente adiabatique provoquent une variation de température de la masse d'air avec l'altitude qui conditionne de nombreux phénomènes atmosphériques (voir les articles Atmosphère normalisée et Gradient thermique adiabatique).

On peut calculer mathématiquement l'énergie et les changements de pression du processus, mais en général on utilise une représentation d'une transformation adiabatique sur des diagrammes thermodynamiques pré-calculés pour indiquer le chemin de la pression en fonction de la température. Les quatre diagrammes utilisés pour analyser la structure thermique de l'atmosphère sont le téphigramme, le Skew-T, l'émagramme et le diagramme de Stüve^{[38],[12],[13]}.