Conjecture de Cramér

Cramér avait auparavant, en 1920^[2], démontré un énoncé plus faible :

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\,\ln p_{n})}$

sous l'hypothèse de Riemann (qui elle-même n'est pas démontrée non plus).

Andrew Granville^[2] a affiné la conjecture initiale de Cramér en proposant la constante

${\displaystyle 2e^{-\gamma }\approx 1,1229\ldots .}$

comme limite supérieure de la suite

${\displaystyle {\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\ln p_{n})^{2}}}}$.

Des calculs poussés indiquent que cette estimation est plausible^[3].

Dans l'autre direction, on sait^[4] que

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\ln p_{n}}}=\infty }$.