Conjecture de Feit-Thompson

En mathématiques, la conjecture de Feit-Thompson est une conjecture de théorie des nombres, formulée pour la première fois par Walter Feit et John G. Thompson en 1962^[1]. Elle dit qu'il n'y a pas de nombres premiers distincts p et q tels que :

${\displaystyle {\frac {p^{q}-1}{p-1}}{\text{ divise }}{\frac {q^{p}-1}{q-1}}.}$

Si la conjecture était vraie, cela simplifierait considérablement le dernier chapitre de la preuve^[2] du théorème de Feit-Thompson, qui dit que tout groupe fini d'ordre impair est résoluble.

La conjecture forte, qui dit que, pour tous nombres premiers distincts p et q, les deux entiers ${\displaystyle n_{p,q}:={\frac {p^{q}-1}{p-1}}}$ et ${\displaystyle n_{q,p}}$ sont premiers entre eux, a été réfutée en 1971 par Stephens^[3], qui a donné le contre-exemple p = 17 et q = 3 313, avec pgcd(n_p,q, n_q,p) = 2pq + 1 = 112 643.

Un argument informel de probabilité suggère que le nombre « prévu » de contre-exemples pour la conjecture de Feit et Thompson est très proche de 0, ce qui va dans le sens de la conjecture.