Cross-cap

• une sphère avec une cross-cap est le plan projectif réel lui-même, la sphère étant élément neutre pour la somme connexe ;
• une sphère avec deux cross-caps a pour modèle la bouteille de Klein^[4] ;
• une sphère avec trois cross-caps est appelée surface de Dyck, et est homéomorphe à la somme connexe du plan projectif et du tore d'après un théorème de Walther von Dyck^[5].

Dans une immersion dans R³, la cross-cap se traduit par une auto-intersection, à proximité de laquelle la cross-cap ressemble au parapluie de Whitney, donc possède des points cuspidaux.

Ces surfaces apparaissent dans le théorème de classification des variétés de dimension 2 : toute variété compacte de dimension 2 et sans bord est homéomorphe à la sphère (munie d'un certain nombre d'anses) avec 0, 1, ou 2 cross-caps^[6]. En effet, notons ${\displaystyle T_{1}}$ le tore, ${\displaystyle T_{n}}$ le tore à n trous (somme connexe de n tores ${\displaystyle T_{1}}$), ${\displaystyle U_{1}}$ le plan projectif, ${\displaystyle U_{n}}$ la somme connexe de n plans projectifs (ou la sphère munie de n cross-caps). ${\displaystyle K=U_{2}}$ est la bouteille de Klein, et le théorème de Dick énonce que ${\displaystyle U_{3}=T_{1}\#U_{1}}$, et plus généralement, pour tout entier n, ${\displaystyle U_{2n}=T_{n-1}\#K}$ et ${\displaystyle U_{2n+1}=T_{n}\#U_{1}}$. On montre alors que toute surface compacte sans bord est homéomorphe à un ${\displaystyle T_{n}}$ (0 cross-cap) si elle est orientable, et à un ${\displaystyle U_{n}}$ si elle est non-orientable (tore à plusieurs trous muni de 1 cross-cap si n est impair, et 2 cross-caps si n est pair).