Espace classifiant

Le cercle ${\displaystyle S^{1}}$ est l’espace classfiant pour son groupe d’homotopie ${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z} }$ par le revêtement infini ${\displaystyle \mathbb {R} \to S^{1}}$. Plus généralement le tore de dimension n est classifiant pour le groupe abélien libre ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$.

D’autres espaces sont classifiants pour leur groupe d’homotopie :

• les variétés hyperboliques et en particulier les surfaces fermées (compactes et sans bord) connexes de genre strictement supérieur à 1
• le bouquet de cercles ${\displaystyle \bigvee _{i=1}^{n}S^{1}}$ pour le groupe libre avec n générateurs.

L’espace ${\displaystyle \mathrm {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})}$ de configurations non ordonnées de n points dans le plan classifie le groupe de tresses à n brins. Le sous-groupe des tresses pures est classifié par l’espace des configurations ordonnées. En considérant les configurations non ordonnées de points dans l’espace de dimension infinie ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$, on trouve l’espace classifiant du groupe symétrique : ${\displaystyle \mathrm {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{\infty })=B\Sigma _{n}}$.

Le groupe à deux éléments ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ est classifié par l’espace projectif réel infini via son revêtement universel ${\displaystyle S^{\infty }\to \mathbb {R} P^{\infty }}$.

Le classifiant du groupe orthogonal ${\displaystyle O(n)}$ des isométrie de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ est la grassmannienne ${\displaystyle \mathrm {Gr} _{n}}$, dont les éléments sont les sous-espaces vectoriels de dimension n dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$.