Extension de groupes
From Wikipedia, the free encyclopedia
En mathématiques, plus précisément en théorie des groupes, une extension de groupes est une manière de décrire un groupe en termes de deux groupes « plus petits ». Plus précisément, une extension d'un groupe Q par un groupe N est un groupe G qui s'insère dans une suite exacte courte
.
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.
Autrement dit : G est une extension de Q par N[1] si (à isomorphismes près) N est un sous-groupe normal de G et Q est le groupe quotient G/N.
Notions associées
- L'extension est dite centrale si N est inclus dans le centre de G.
- L'extension triviale de Q par N est celle qui correspond au produit direct N×Q.
- Une scission de l'extensionest un morphismeL'extension est alors dite scindée. Les extensions scindées de Q par N sont celles qui correspondent aux produits semi-directs . Les groupes Q dont toutes les extensions sont scindées sont les groupes libres[2].
- Un morphisme d'extensionsest un morphismetel que le diagramme associécommute, c'est-à-dire tel queD'après le lemme des cinq court (en), un tel morphisme est toujours un isomorphisme.
