Factorielle alternée

La factorielle alternée de ${\displaystyle n\geqslant 1}$ est définie par :

${\displaystyle \operatorname {fa} (n)=n!-(n-1)!+(n-2)!-\cdots +(-1)^{n-1}=\sum _{i=0}^{n-1}(-1)^{i}(n-i)!=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{n-i}i!\,}$,

d'où la relation de récurrence :

${\displaystyle \operatorname {fa} (n)=n!-\operatorname {fa} (n-1)}$.

Quelle que soit la parité de ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle n!}$ est affecté du signe plus, ${\displaystyle (n-1)!}$ du signe moins, etc. Par exemple ${\displaystyle \operatorname {fa} (3)=1!-2!+3!}$ tandis que ${\displaystyle \operatorname {fa} (6)=-1!+2!-3!+4!-5!+6!}$.

Les premières factorielles alternées sont données par^[2] :

n	1	2	2	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
fa(n)	1	1	5	19	101	619	4 421	35 899	326 981	3 301 819	36 614 981	442 386 619	5 784 634 181	81 393 657 019