Formule de Bretschneider

En la séparant par l'une des diagonales intérieures (par exemple [BD]), la surface du quadrilatère est réunion de deux surfaces triangulaires. Son aire est alors donnée par

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=S_{ABD}+S_{CBD}\\&={\frac {ad\sin \alpha }{2}}+{\frac {bc\sin \gamma }{2}}.\end{aligned}}}$

D'où

${\displaystyle 4S^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .}$

Or la formule d'Al-Kashi donne

${\displaystyle BD^{2}=a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma .}$

Cela peut être réécrit en

${\displaystyle {\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .}$

En ajoutant ceci à la formule ci-dessus donnant ${\displaystyle 4S^{2}}$, on obtient

${\displaystyle {\begin{aligned}4S^{2}+{\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}&=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-2abcd-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\left({\frac {\cos(\alpha +\gamma )+1}{2}}\right)\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).\end{aligned}}}$

Après factorisation de ${\displaystyle (a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}-4(ad+bc)^{2}}$, on obtient :

${\displaystyle 16S^{2}=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right),}$

qui s'écrit aussi

${\displaystyle S^{2}=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}$,

d'où la formule de Bretschneider.

Voir une autre démonstration dans ^[3].

En ajoutant les aires des quatre triangles découpés par les diagonales, on obtient :

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ef|\sin \theta |={\frac {1}{2}}\lVert {\overrightarrow {AC}}\land {\overrightarrow {BD}}\ \rVert }$

où e et f sont les longueurs des diagonales et ${\displaystyle \theta }$ une mesure de leur angle.

En utilisant la formule d'Al-Kashi dans les quatre triangles découpés par les diagonales, on obtient :

${\displaystyle 2ef\cos \theta =\pm (a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})}$.

D'où, d'une part :

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}|a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}|\cdot |\tan \theta |}$,

d'autre part ^[1]:

${\displaystyle S={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4e^{2}f^{2}-(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}}}}$ .

Cette formule peut être modifiée en

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)}}}$,

forme due à Coolidge ^[4], montrant le lien avec la formule de Bretschneider.

Cette forme permet aussi de retrouver la formule de Brahmagupta pour le cas inscriptible, car dans ce cas, d'après le théorème de Ptolémée, ${\displaystyle ac+bd=ef}$.

Le fisc égyptien utilisait pour le calcul de l'aire d'un champ quadrilatéral convexe le produit des longueurs moyennes des côtés opposés : ${\displaystyle S'={\frac {AB+CD}{2}}\times {\frac {AC+BD}{2}}}$^[5].

On a ${\displaystyle S\leqslant S'}$ avec égalité si et seulement si le champ est rectangulaire^[5].

Cette méthode, présente aussi dans le problème 64 du papyrus démotique British Museum 10520 dans le cas d’un calcul de l’aire d’un quadrilatère non irrégulier (un rectangle)^[6], est très présente dans les textes cunéiformes mésopotamiens des périodes les plus anciennes jusqu’au plus récentes^[7],[8].