Hectogone

Un hectogone régulier est un hectogone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a vingt : dix-neuf étoilés (notés {100/k} pour k impair de 3 à 49 sauf les multiples de 5) et un convexe (noté {100}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'hectogone régulier ».

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Les vingt hectogones réguliers.

Représentation Symbole de Schläfli {100} {100/3} {100/7} {100/9} {100/11} Angle interne 176,4° 169,2° 154,8° 147,6° 140,4° Représentation Symbole de Schläfli {100/13} {100/17} {100/19} {100/21} {100/23} Angle interne 133,2° 118,8° 111,6° 104,4° 97,2° Représentation Symbole de Schläfli {100/27} {100/29} {100/31} {100/33} {100/37} Angle interne 82,8° 75,6° 68,4° 61,2° 46,8° Représentation Symbole de Schläfli {100/39} {100/41} {100/43} {100/47} {100/49} Angle interne 39,6° 32,4° 25,2° 10,8° 3,6°

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Chacun des 100 angles au centre mesure ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{100}}=3{,}6^{\circ }}$ et chaque angle interne mesure ${\displaystyle {\frac {17\,640^{\circ }}{100}}=176{,}4^{\circ }}$.

Si a est la longueur d'une arête :

• le périmètre vaut ${\displaystyle P=100\,a}$ ;
• l'aire vaut ${\displaystyle A=25\,a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{100}}\right)}$ ;
• l'apothème vaut ${\displaystyle H={\frac {2\,A}{P}}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{100}}\right)}$ ;
• le rayon vaut ${\displaystyle R={\frac {H}{\cos \left({\frac {\pi }{100}}\right)}}={\frac {a}{2\sin \left({\frac {\pi }{100}}\right)}}}$.

L'hectogone régulier n'est pas constructible à la règle et au compas : en effet, selon le théorème de Gauss-Wantzel, un polygone régulier est constructible à la règle et au compas si et seulement s'il a un nombre de côtés de la forme ${\displaystyle 2^{k}\times p_{1}\times p_{2}\times \cdots \times p_{m}}$ où les ${\displaystyle p_{i}}$ sont des nombres premiers de Fermat distincts. Or ${\displaystyle 100=2^{2}\times 5^{2}}$.

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