Hyperboloïde

Dans un repère bien choisi, son équation cartésienne est de la forme

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}-1=0}$

Le cas ${\displaystyle a=b}$ fournit, en repère orthonormé, le cas particulier d'un hyperboloïde de révolution. L'axe de rotation doit être l'axe non transverse pour que la surface ne possède qu'une nappe. Les sections avec un plan perpendiculaire à l'axe de rotation sont alors des cercles :

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}-1=0}$ (une nappe)

Le dessin ci-contre utilise une hyperbole équilatère, alors ${\displaystyle a=b=c}$.

On peut générer cette surface par rotation d'une droite autour d'un axe qui ne lui est pas coplanaire. On peut aussi l'obtenir comme l'ensemble des droites qui coupent trois droites fixées non coplanaires et pas toute parallèles à un même plan. Ces propriétés justifient que l'hyperboloïde à une nappe est une surface réglée non développable.

Le volume V du « tabouret » hyperboloïde à une nappe pour z compris entre -h et h avec h > 0 est donnée par la formule

${\displaystyle V=2\pi abh\left(1+{\frac {h^{2}}{3c^{2}}}\right).}$

Pour le justifier on découpe le tabouret de hauteur h dans le demi-espace supérieur par des cylindres infinitésimaux à base elliptique. On appelle Cz le cylindre de hauteur dz et de base elliptique d'équation

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a{\sqrt {1+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}}}}}+{\frac {y^{2}}{b{\sqrt {1+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}}}}}=1.}$

Le volume de la base du cylindre Cz est ${\displaystyle V=\pi ab\left(1+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}\right).}$ Le volume du tabouret s'obtient en sommant les volumes des cylindres Cz pour z variant entre 0 et h. D'où

${\displaystyle V=2\int _{0}^{h}\pi ab\left(1+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}\right)\mathrm {d} z=\pi 2abh\left(1+{\frac {h^{2}}{3c^{2}}}\right).}$

Applications

Cette section est un extrait de Structure hyperboloïde.[modifier].

Les structures à nappe hyperboloïde sont généralement des treillis ou des ossatures épousant la forme d'un hyperboloïde à une nappe.

Leur coque extérieure est armée par des armatures droites combinées pour former une ou deux familles d'hélices entrecroisées. Leur géométrie est celle d'une surface réglée (génératrice) : on n’emploie pour l’essentiel de l’armature de ces structures, qu’elles soient ajourées ou pleines, que des poutres droites, auxquelles s’ajoutent des cerces de contreventement dans les structures légères. Les grandes tours en hyperboloïde présentent une traînée faible.

Dans un repère bien choisi, son équation cartésienne est de la forme

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}+1=0}$

C'est la seule quadrique non connexe (avec la forme dégénérée qu'est le cylindre hyperbolique).

Le cas ${\displaystyle a=b}$ fournit, en repère orthonormé, le cas particulier d'un hyperboloïde de révolution. L'axe de rotation doit être l'axe focal pour que la surface possède deux nappes. Les sections avec un plan perpendiculaire à l'axe de rotation sont alors des cercles soit :

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}+1=0}$ (deux nappes)

Le dessin ci-contre utilise une hyperbole équilatère, alors ${\displaystyle a=b=c}$.