Jeu de potentiel

On situe attribue souvent la définition des jeux de potentiel à l'économiste américain Robert W. Rosenthal dans son article de 1973 A class of games possessing pure-strategy Nash equilibria^[1].

Les définitions suivantes concernent les jeux de potentiel finis. On peut aussi envisager des jeux infinis.

Soit ${\displaystyle N}$ le nombre de joueurs, ${\displaystyle A}$ l'ensemble (produit) des stratégies possibles, ${\displaystyle A_{i}}$ les stratégies du joueur ${\displaystyle i}$ et ${\displaystyle u}$ la fonction d'utilité.

• Un jeu ${\displaystyle G=\left(N,A_{1}\times \cdots \times A_{N},u:A\rightarrow \mathbb {R} ^{N}\right)}$ est un jeu de potentiel ordinal s'il existe ${\displaystyle \Phi :A\rightarrow \mathbb {R} }$ telle que

${\displaystyle \forall {a_{-i}\in A_{-i}},\ \forall {a'_{i},\ a''_{i}\in A_{i}},u_{i}\left(a'_{i},a_{-i}\right)<u_{i}\left(a''_{i},a_{-i}\right)}$ implique ${\displaystyle \Phi \left(a'_{i},a_{-i}\right)>\Phi \left(a''_{i},a_{-i}\right)}$.

• Un jeu ${\displaystyle G=\left(N,A_{1}\times \cdots \times A_{N},u:A\rightarrow \mathbb {R} ^{N}\right)}$ est un jeu de potentiel exact s'il existe ${\displaystyle \Phi :A\rightarrow \mathbb {R} }$ telle que

${\displaystyle \forall {a_{-i}\in A_{-i}},\ \forall {a'_{i},\ a''_{i}\in A_{i}},\Phi \left(a'_{i},a_{-i}\right)-\Phi \left(a''_{i},a_{-i}\right)=u_{i}\left(a''_{i},a_{-i}\right)-u_{i}\left(a'_{i},a_{-i}\right)}$.

Dans la littérature scientifique, l'expression jeu de potentiel peut désigner l'une ou l'autre de ces notions. On peut définir des variantes, avec des poids, etc.

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Si un point est un minimum global du potentiel, alors c'est un équilibre de Nash^[2]. En conséquence, si l'ensemble des stratégies et la fonction de potentiel sont convexes, il y a existence d'un équilibre de Nash pur.