Loi de Landau

La loi est définie par une intégrale complexe :

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{2\pi {\rm {i}}}}\int _{c-{\rm {i}}\infty }^{c+{\rm {i}}\infty }\!{\rm {e}}^{s\log s+xs}\,{\rm {d}}s}$

où ${\displaystyle c}$ est un réel positif et log est le logarithme naturel. Pour une utilisation pratique, il est plus utile d'utiliser l'intégrale équivalente suivante  :

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\!{\rm {e}}^{-t\log t-xt}\sin(\pi t)\,{\rm {d}}t.}$

Cette loi est un cas spécial de la loi stable de paramètres^[3] ${\displaystyle a=1}$ et ${\displaystyle \beta =1}$.

La fonction caractéristique est donnée par la formule :

${\displaystyle \varphi (x;\mu ,c)=\exp \!\left[\;{\rm {i}}t\mu -|c\,t|(1+{\tfrac {2{\rm {i}}}{\pi }}\log(|t|)\right]}$

où ${\displaystyle \mu }$ et c sont des réels appelés la dérive pour ${\displaystyle \mu }$ et c l'échelle.

• Si ${\displaystyle X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)\,}$ alors ${\displaystyle X+m\sim {\textrm {Landau}}(\mu +m,c)\,}$.
• La loi de Landau est une loi stable.