Loi de Sutherland

Le potentiel utilisé, dit potentiel de Sutherland, prolonge celui des sphères dures par un terme en ${\displaystyle r^{-\gamma }}$ au-delà du rayon ${\displaystyle r}$ de non-pénétration ${\displaystyle \sigma }$^[2] :

${\displaystyle E_{\mathrm {p} }=\left\{{\begin{array}{cl}\infty &\mathrm {si} \quad r\leq \sigma \\-\varepsilon \,\left({\dfrac {\sigma }{r}}\right)^{\gamma }&\mathrm {si} \quad r>\sigma \end{array}}\right.}$

où ${\displaystyle \varepsilon }$ est la valeur attractive maximale du potentiel.

La viscosité dynamique obtenue s'écrit :

${\displaystyle \eta ={\frac {\eta _{0}}{1+{\frac {S}{T}}}}\,,\quad \eta _{0}={\frac {5}{16}}\left({\frac {k_{\mathrm {B} }}{\pi N_{\mathrm {A} }}}\right)^{\frac {1}{2}}{\frac {(MT)^{\frac {1}{2}}}{\sigma ^{2}}}\,,\quad S=f(\gamma ){\frac {\varepsilon }{k_{\mathrm {B} }}}}$

où ${\displaystyle \eta _{0}}$ est la viscosité obtenue avec un modèle de sphères dures (${\displaystyle M}$ est la masse molaire) et ${\displaystyle f(\gamma )}$ un coefficient calculable numériquement^[2]. Pour ${\displaystyle \gamma =6}$ (valeur typique pour un potentiel physiquement réaliste), ${\displaystyle f(\gamma )=}$ 0,1667.

L'expression précédente est à l'origine de la loi de Sutherland, une formule semi-empirique pour exprimer la viscosité dynamique d'un fluide :

${\displaystyle \eta (T)\approx \eta (T_{\mathrm {ref} })\,\left({\frac {T}{T_{\mathrm {ref} }}}\right)^{\!3/2}\,{\frac {T_{\mathrm {ref} }+S}{T+S}}}$

${\displaystyle T_{\mathrm {ref} }}$ est une température de référence, généralement 273,15 K, et ${\displaystyle S}$ une constante numérique qui dépend du gaz considéré. Cette expression se déduit de la précédente en remplaçant ${\displaystyle T^{\frac {1}{2}}}$ par ${\displaystyle T^{\frac {3}{2}}}$.

Pour l'air par exemple, on prend ${\displaystyle S}$ = 110,4 K et ${\displaystyle \eta (T_{\mathrm {ref} })}$ = 1,715 × 10⁻⁵ Pa s, ce qui donne une bonne approximation sur une plage de température de l'ordre de 170 à 1 500 K environ.