Loi de Tukey-lambda

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Tukey-lambda est une loi de probabilité à support compact ou infini, en fonction de la valeur de son paramètre. Cette loi est à densité, cependant sa densité ne possède pas d'expression analytique. La loi est alors définie par ses quantiles.

Cet article est une ébauche concernant les probabilités et la statistique.

Paramètres

\lambda \in \mathbb {R}

{\begin{cases}x\in [{\frac {-1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }}]&{\text{ pour }}\lambda >0\\x\in \mathbb {R} &{\text{ pour }}\lambda <0\end{cases}}

Densité de probabilitédonnée par les quantiles :

(Q(p;\lambda )\,,Q'(p;\lambda )^{-1}),\,0\leq \,p\,\leq \,1

({\rm {e}}^{-x}+1)^{-1},{\text{ pour }}\lambda =0

Faits en bref Paramètres, Support ...

Loi de Tukey-lambda



Paramètres	$\lambda \in \mathbb {R}$ paramètre de forme
Support	${\begin{cases}x\in [{\frac {-1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }}]&{\text{ pour }}\lambda >0\\x\in \mathbb {R} &{\text{ pour }}\lambda <0\end{cases}}$
Densité de probabilité	donnée par les quantiles : $(Q(p;\lambda )\,,Q'(p;\lambda )^{-1}),\,0\leq \,p\,\leq \,1$
Fonction de répartition	$({\rm {e}}^{-x}+1)^{-1},{\text{ pour }}\lambda =0$
Espérance	$0{\text{ pour }}\lambda >-1$
Médiane	0
Mode	0
Variance	${\textstyle {\begin{cases}{\frac {2}{\lambda ^{2}}}\left({\frac {1}{1+2\lambda }}-{\frac {\Gamma (\lambda +1)^{2}}{\Gamma (2\lambda +2)}}\right)&{\text{ si }}\lambda >-1/2\\{\frac {\pi ^{2}}{3}}&{\text{ si }}\lambda =0\end{cases}}}$
Asymétrie	$0{\text{ pour }}\lambda >-1/3$
Kurtosis normalisé	${\textstyle {\frac {(2\lambda +1)^{2}}{2(4\lambda +1)}}{\frac {g_{2}^{2}\left(3g_{2}^{2}-4g_{1}g_{3}+g_{4}\right)}{g_{4}\left(g_{1}^{2}-g_{2}\right)^{2}}}-3,}$ où ${\textstyle g_{k}=\Gamma (k\lambda +1)}$ et ${\textstyle \lambda >-1/4}$ .
Entropie	$\int _{0}^{1}\log(Q'(p;\lambda ))\,{\rm {d}}p$ ^[1]
Fonction caractéristique	$\int _{0}^{1}\exp(\,{\rm {i}}t\,Q(p;\lambda ))\,{\rm {d}}p$ ^[2]
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Différents paramétrages

La loi de Tukey-lambda est connue de façon implicite par la distribution de ses quantiles^[3]:

G(p)\equiv F^{-1}(p)={\begin{cases}\left[p^{\lambda }-(1-p)^{\lambda }\right]/\lambda ,&{\mbox{si }}\lambda \neq 0\\\operatorname {logit} (p),&{\mbox{si }}\lambda =0\end{cases}}

avec la fonction logit.

Le paramètre $\lambda$ est un paramètre de forme, comme le résume le tableau suivant.

λ = −1	approximativement une loi de Cauchy
λ = 0	exactement une loi logistique
λ = 0,14	approximativement une loi normale
λ = 0,5	strictement concave
λ = 1	exactement une loi uniforme continue sur]–1 ; 1[

La densité et la fonction de répartition de cette loi doivent être approchées numériquement. Cette loi a par la suite été généralisée.

$G(p)=\lambda _{1}+{p^{\lambda _{3}}-(1-p)^{\lambda _{4}} \over \lambda _{2}}$

$G(p)=\lambda _{1}+{{{\frac {p^{\lambda _{3}}}{\lambda _{3}}}-{\frac {(1-p)^{\lambda _{4}}}{\lambda _{4}}}} \over \lambda _{2}}$