M-tuplet diophantien
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Un m-tuplet diophantien est, en théorie des nombres, un ensemble d'entiers naturels tel que est un carré parfait pour tout . Un ensemble de m nombres rationnels positifs où le produit de deux d'entre eux plus un est toujours un carré rationnel est dit m-tuplet diophantien rationnel.
Il existe des m-tuplets diophantiens pour m allant jusqu'à 4, mais il n'existe pas de quintuplets diophantiens.
m-tuplets diophantiens entiers
Le premier quadruplet diophantien a été trouvé par Fermat : . Il a été prouvé en 1969 par Baker et Davenport qu'un cinquième entier ne peut pas être ajouté à cet ensemble. Cependant, Euler a été en mesure d'étendre cet ensemble en ajoutant le nombre rationnel [1].
La question de l'existence de quintuplets diophantiens (entiers) était l'un des plus anciens problèmes non résolus de la théorie des nombres. En 2004, Andrej Dujella a montré qu'il existe au plus un nombre fini de quintuplets diophantiens[1]. En 2016, l'inexistence de quintuplets diophantiens est prouvée par He, Togbé et Ziegler[2].
Le cas rationnel
Diophante a trouvé le quadruplet diophantien rationnel . Plus récemment, Philip Gibbs a trouvé des ensembles de six rationnels positifs formant des sextuplets rationnels[3]. On ne sait pas s'il existe des m-tuplets diophantiens rationnels plus grands, ou s'il existe une borne supérieure, mais il est connu qu'aucun ensemble infini n'est m-tuplet[4] diophantien[5].
