Nombre parfait multiple
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En mathématiques, le concept de nombre parfait multiple (aussi appelé nombre multiparfait ou nombre plus-que-parfait) généralise celui de nombre parfait.
Pour un nombre naturel donné k, un nombre n est appelé k-parfait si et seulement si la somme de tous les diviseurs positifs de n, notée , est égale à kn ; ainsi, un nombre est parfait si et seulement si il est 2-parfait. Un nombre qui est k-parfait pour un certain k est appelé un nombre parfait multiple. Les nombres k-parfaits sont connus pour chaque valeur de k jusqu'à 11 (juillet 2004).
Il peut être démontré que :
- Pour un nombre premier donné p, si n est p-parfait et p ne divise pas n, alors pn est (p + 1)-parfait. Ceci implique que si un entier n est un nombre 3-parfait divisible par 2 mais pas par 4, alors n/2 est un nombre parfait impair, pour lequel aucun n'est connu.
- Si 3n est 4k-parfait et 3 ne divise pas n, alors n est 3k-parfait.
Plus petits nombres k-parfaits
La table suivante donne une vue d'ensemble des plus petits nombres k-parfaits pour (voir la suite A007539 de l'OEIS) :
| k | Plus petit nombre k-parfait | Découvert par |
|---|---|---|
| 1 | 1 | anciens |
| 2 | 6 | anciens |
| 3 | 120 | anciens |
| 4 | 30 240 | René Descartes, environ 1638 |
| 5 | 14 182 439 040 | René Descartes, environ 1638 |
| 6 | 154 345 556 085 770 649 600 | Robert Daniel Carmichael, 1907 |
| 7 | 141 310 897 947 438 348 259 849 402 738 485 523 264 343 544 818 565 120 000 | TE Mason, 1911 |
Liens externes
- (en) Achim Flammenkamp, The Multiply Perfect Numbers Page
- (en) Prime Pages' Glossary, Multiply perfect
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Multiply perfect number » (voir la liste des auteurs).
