Paire

• Une paire qui contient deux éléments ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ se note ${\displaystyle \left\{a,b\right\}}$.
• L'ordre d'écriture de la paire n'a pas d'importance: ${\displaystyle \{a,b\}=\{b,a\}}$. Ceci différencie la paire du couple.
• Le cardinal d'une paire est 2.
• L'ensemble ${\displaystyle \left\{a,a\right\}}$ n'est pas une paire mais un singleton et se note aussi ${\displaystyle \left\{a\right\}}$^{[note 1]}.

• ${\displaystyle \left\{1,3\right\}}$ (avec une espace après la virgule) est la paire comprenant les entiers ${\displaystyle 1}$ et ${\displaystyle 3}$.
• ${\displaystyle \left\{\sin ,\exp \right\}}$ est une paire de fonctions.
• ${\displaystyle \left\{\{1\},\{1,2\}\right\}}$ est une paire composée du singleton ${\displaystyle \left\{1\right\}}$ et de la paire ${\displaystyle \left\{1,2\right\}}$.
• ${\displaystyle \left\{5,A\right\}}$ est une paire composée du nombre ${\displaystyle 5}$ et de l'élément ${\displaystyle A}$.
• ${\displaystyle \left\{7,2\right\}=\{2,7\}}$ alors que ${\displaystyle (7,2)\neq (2,7)}$

Von Neumann, dans son article de 1923^[1],[2], qui est un des premiers sur la théorie des ensembles, note les paires ${\displaystyle (a,b)}$, comme nous noterions aujourd'hui les couples. Remarquons qu'il définit l'entier ${\displaystyle 2}$ comme étant la paire ${\displaystyle \left\{\varnothing ,\{\varnothing \}\right\}}$, qu'il écrit ${\displaystyle \left(\mathbf {O} ,(\mathbf {O} )\right)}$.