Podaire

La podaire fut étudiée par Colin Maclaurin en 1718 puis par Olry Terquem. Étymologiquement, le terme podaire provient du mot grec podos pied (pied de la perpendiculaire).

Par l'équation cartésienne

Pour une équation avec une équation cartésienne sous la forme F(x, y) = 0, en fixant l'origine du repère au point P, si l'équation de la tangente en R = (x₀, y₀) s'écrit

${\displaystyle \cos(\alpha )x+\sin(\alpha )y=p}$

alors le vecteur (cos α, sin α) est parallèle au segment PX, et la longueur de PX, soit la distance entre la tangente et l'origine, vaut p. Donc X a pour coordonnées polaires (p, α), ce qui permet d'écrire une équation polaire de la podaire^[1]:164.

Par l'équation polaire

Depuis P l'origine et une courbe C donnée en coordonnées polaires par r = f(θ). Soit R = (r, θ) un point sur la courbe et X = (p, α) le point correspodnat sur la courbe pédale. On note ψ l'angle entre la tangente et le vecteur rayon, parfois désigné comme angle tangentiel polaire. Il est donné par

${\displaystyle r={\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} \theta }}\tan \psi .}$

Alors

${\displaystyle p=r\sin \psi }$

et

${\displaystyle \alpha =\theta +\psi -{\frac {\pi }{2}}.}$

De ces équations, on peut tirer une équation en p et α qui, renvoyé sur r et θ, donne une équation polaire pour la courbe pédale^[1]:164-5.

Par l'équation paramétrique

L'équation paramétrique de la podaire d'une courbe paramétrée c(t) par rapport à un point P est donnée par :

${\displaystyle t\mapsto c(t)+{\langle c'(t),P-c(t)\rangle \over |c'(t)|^{2}}c'(t)}$

La notion de podaire peut être utilisée en mécanique du point pour l'étude des mouvements à force centrale.

• Cercle podaire