Rayon spectral

Liens avec les normes matricielles

Pour toute norme matricielle ${\displaystyle N}$ on a ${\displaystyle \rho (A)\leq N(A)}$.

De plus, on montre que ${\displaystyle \rho (A)=\inf N(A)}$, la borne inférieure étant prise sur l'ensemble des normes subordonnées donc a fortiori sur l'ensemble des normes matricielles.

Le rayon spectral peut être strictement inférieur à la norme d'opérateur. Par exemple la matrice ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$ a un rayon spectral 0, mais ${\displaystyle M\neq 0}$ donc ${\displaystyle \|M\|>0=\rho (M)}$ (plus précisément, ${\displaystyle \|M\|=1}$ car nous avons ${\displaystyle \|M\|^{2}=\|^{\operatorname {t} }M\ M\|=\rho (^{\operatorname {t} }M\ M)=1}$).

Le théorème de Gelfand nous dit que le rayon spectral ${\displaystyle \rho (A)}$ d'un endomorphisme ${\displaystyle A}$ est donné par la formule ${\displaystyle {\rho (A)}=\lim _{+\infty }\|A^{n}\|^{1/n}}$.

Opérateurs normaux

Pour un opérateur normal (en particulier pour un opérateur autoadjoint) sur un espace de Hilbert H, le rayon spectral est égal à la norme d'opérateur. On en déduit que pour tout opérateur A sur H, ${\displaystyle \|A\|^{2}=\rho (A^{*}A)}$.

Bibliographie

• (en) Peter D. Lax, Functional Analysis, Wiley-Interscience, coll. « Pure and applied mathematics », 2002, 608 p.

Articles connexes

• Norme d'opérateur
• Spectre d'un opérateur linéaire

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Spectral Radius », sur MathWorld
• « Rayon spectral », sur Bibmath (consulté le 21 septembre 2025).

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