En mécanique quantique et dans un espace à une dimension, la représentation X ou réalisation-X est la représentation dans laquelle l'opérateur de position
x
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}
vecteur propre de cette représentation s'écrit[ 1] :
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x
^
|
x
⟩
=
x
|
x
⟩
{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}\left|x\right\rangle =x\left|x\right\rangle }
Comme l'opérateur
x
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}
hermitien , on peut montrer pour un vecteur d'état que :
x
^
|
ψ
⟩
=
x
|
ψ
⟩
{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}\left|\psi \right\rangle =x\left|\psi \right\rangle }
Dans cette représentation, l'opérateur d'impulsion
p
^
x
{\displaystyle \mathbf {{\hat {p}}_{x}} }
:
⟨
x
|
p
^
x
|
ψ
⟩
=
⟨
x
|
−
i
ℏ
∂
∂
x
|
ψ
⟩
{\displaystyle \langle x|\mathbf {{\hat {p}}_{x}} \left|\psi \right\rangle =\langle x|-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\left|\psi \right\rangle }
Ce qui se réécrit de façon allégée dans la littérature :
p
^
x
|
ψ
⟩
=
−
i
ℏ
∂
∂
x
|
ψ
⟩
{\displaystyle \mathbf {{\hat {p}}_{x}} \left|\psi \right\rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\left|\psi \right\rangle }
Il faut distinguer cette représentation de la représentation P dans laquelle l'opérateur d'impulsion s'écrit simplement
p
x
{\displaystyle p_{x}}
