Répunit

Dans le domaine des mathématiques récréatives, un répunit ou rep-unit^[1] est un entier naturel dont l'écriture, dans une certaine base entière, ne comporte que des chiffres 1. C'est donc un cas particulier de nombre uniforme.

Ce terme est la francisation de l'anglais repunit, contraction de l'expression repeated unit (unité répétée), proposée en 1966 par Albert H. Beiler^[2].

En français ont été proposées les appellations « nombre polymonadique^[3] », « multi-as^[4] », « répun^[5] » ou encore « nombre de Mersenne généralisé^[6] » mais c'est l'anglicisme qui reste le plus utilisé^[7]^,^[1]^,^[8].

Définition

Les répunits en base dix sont définis, pour tout $n\geqslant 1$ , par :

R_{n}={\frac {10^{n}-1}{9}}

.

Plus généralement, ils sont définis en base entière $b\geqslant 2$ , pour tout $n\geqslant 1$ , par :

R_{n}^{(b)}={\frac {b^{n}-1}{b-1}}=\sum _{k=0}^{n-1}b^{k}

.

Ainsi, le nombre $R_{n}^{(b)}$ s'écrit en base $b$ comme la suite de $n$ chiffres $1$ : $R_{n}^{(b)}=\underbrace {11...1} _{n}$ .

Il est également possible de définir les répunits de base $b$ par récurrence avec $R_{1}^{(b)}=1$ et $R_{n+1}^{(b)}=1+b\times R_{n}^{(b)}$ .

Histoire

Bien que n'étant pas encore connus sous ce nom, les répunits en base dix ont été étudiés par de nombreux mathématiciens au cours du XIX^e siècle^[9], dans un effort pour élaborer et prédire les tendances cycliques du développement décimal périodique^[10].

Il est démontré très tôt^[10] que, pour tout nombre premier $p$ supérieur ou égal à 7, la longueur de la période du développement décimal de $1/p$ est égale à la longueur du plus petit répunit divisible par $p$ ^[11]^,^[6]. Des tables de la période des inverses des nombres premiers jusqu'à 60 000 sont publiées dans les années1870 par le mathématicien britannique William Shanks^[10] : elles permettent la factorisation, par des mathématiciens comme Reuschle, de tous les répunits jusqu'à R₁₆. En 1880, les nombres de R₁₇ à R₃₆ sont factorisés^[10]. Bien qu'Édouard Lucas ait montré qu'aucun nombre premier en dessous de trois millions ne possède une période égale à dix-neuf, aucune tentative en vue de tester ceci n'a lieu avant le début du XX^e siècle. Le mathématicien américain Oscar Hoppe prouve en 1916 que R₁₉ est premier^[12]. Lehmer et Kraïtchik prouvent indépendamment la primalité de R₂₃ en 1929.

Aucune autre avancée majeure dans l'étude des répunits n'a lieu jusque dans les années 1960, où les ordinateurs permettent à de nombreux nouveaux facteurs de répunits d'être trouvés. Le projet Cunningham documente entre autres les factorisations de répunits de base 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, et 12.

Quelques propriétés et exemples

Propriétés générales

En toute base $b$ entière, les premiers répunits s'écrivent $1,11,111,1111,11111$ , etc. (suite A002275 de l'OEIS)
Les répunits sont un cas particulier des nombres uniformes, c'est à dire des nombres écrits, dans une base $b$ , comme une suite de chiffres tous identiques. Les nombres uniformes non répunits sont chacun multiple d'un répunit de même longueur. Par exemple, en base dix : $88888=8\times 11111$
Les répunits en base $b$ $b$ forment une suite de Lucas de paramètres premiers entre eux : $R_{n}^{(b)}=U_{n}(b+1,b)$ $R_{n}^{(b)}=U_{n}(b+1,b)$ pour $n\geqslant 2$ $n\geqslant 2$ . Cette caractéristique entraîne plusieurs propriétés:
- P1 : la suite des répunits en base $b$ suit la propriété de divisibilité forte pour leurs PGCD^[13] : ${\rm {pgcd}}(R_{m}^{(b)},R_{n}^{(b)})=R_{{\rm {pgcd}}(m,n)}^{(b)}$ ;
- P2 : $R_{n}^{(b)}$ $R_{n}^{(b)}$ est divisible par $R_{m}^{(b)}$ $R_{m}^{(b)}$ si et seulement si $n$ $n$ est divisible par $m$ $m$ , propriété conséquence de la précédente ;
  - Conséquence de cette propriété : tout nombre pouvant s'écrire en une base $b$ quelconque comme une suite constituée d'un nombre composé de chiffres 1 est un nombre composé. En effet si $N$ s'écrit en base $b$ comme une suite de $n=p\times q$ ( $p>1$ et $q>1$ ) chiffres 1, alors $R_{n}^{(b)}$ est divisible par $R_{p}^{(b)}$ , ainsi que par $R_{q}^{(b)}$ , donc $N=R_{n}^{(b)}$ est composé.
- P3 : si $R_{n}^{(b)}$ est premier, alors $n$ est nécessairement premier^[14], propriété conséquence de la précédente.
Si $n$ et $b$ sont premiers entre eux, alors au moins l'un des répunits $R (b) 1, \dots , R (b) n$ est un multiple de $n$ (propriété P4).

Démonstration

Raisonnons par l'absurde en supposant qu'aucun de ces $n$ nombres n'est divisible par $n$ . Alors (d'après le principe des tiroirs et puisqu'il n'y a que $n - 1$ classes de congruence mod $n$ non nulles) deux d'entre eux sont dans la même classe, c'est-à-dire qu'il existe des entiers $i$ et $j$ , avec $1 \leq i < j \leq n$ , tels que $n$ divise $R (b) j - R (b) i = R (b) j - i \times b i$ donc (en appliquant le lemme de Gauss à $n$ qui est premier avec $b$ ) $n$ divise $R (b) j - i$ , ce qui contredit l'hypothèse initiale.

Exemples pour

n=9

:

R_{6}^{(2)}=63=9\times 7

;

R_{9}^{(4)}=87381=9\times 9709

;

R_{6}^{(5)}=3906=9\times 434

;

R_{9}^{(7)}=6725601=9\times 747289

;

R_{2}^{(8)}=9

.

Un entier $a$ divise au moins un répunit de base $b$ si et seulement si $a$ et $b$ sont premiers entre eux.

Démonstration

Montrons d'abord, en raisonnant par l'absurde, que tout diviseur de $R_{n}^{(b)}$ est premier avec $b$ . Supposons que $a$ , diviseur de $R_{n}^{(b)}$ , et $b$ ne sont pas premiers entre eux. Il y a donc au moins un nombre premier $p$ qui les divise tous les deux, et qui doit aussi diviser $R_{n}^{(b)}$ . Or le reste de la division de $R_{n}^{(b)}$ par $p$ , comme par $b$ , est $1$ . Donc $R_{n}^{(b)}$ n'est pas divisible par $p$ , ce qui contredit l'hypothèse initiale.

Montrons maintenant que tout nombre $a$ premier avec $b$ divise au moins un répunit de base $b$ . D'après la propriété P4, puisque $a$ et $b$ sont premiers entre eux, l'un des répunits $R_{n}^{(b)}$ pour $n$ compris entre $1$ et $a$ , est un multiple de $a$ : $a$ divise donc ce répunit.

Exemple : aucun répunit de base dix n'est divisible par un nombre pair ou un nombre multiple de cinq, mais tout nombre impair non multiple de cinq divise au moins un répunit de base dix.

Un répunit en base $b$ est divisible par $b+1$ si et seulement si son écriture en base $b$ comporte un nombre pair de chiffres 1. S'il s'écrit avec un nombre impair de chiffres 1, le reste de sa division par $b+1$ est $1$ .

Démonstration

Tout entier $b>0$ est tel que $b\equiv -1[b+1]$ . Donc :

$R_{n}^{(b)}=111\cdots 1111_{b}=1+b+b^{2}+\cdots +b^{n-1}\equiv 1+(-1)+(-1)^{2}+\cdots +(-1)^{n-1}[b+1]$ .

Ce qui donne les deux propriétés annoncées.

Écrits en base $b$ , les carrés des nombres répunits $R_{n}^{(b)}$ pour $n<b$ sont des nombres palindromes et même des nombres merveilleux de Demlo^[15].

Démonstration

Raisonnons d'abord en base dix : $R_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}10^{k}$

Donc : $R_{n}^{2}=R_{n}+10\times R_{n}+10^{2}\times R_{n}+\cdots +10^{n-1}\times R_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}10^{k}+\sum _{k=1}^{n}10^{k}+\sum _{k=2}^{n+1}10^{k}+\cdots +\sum _{k=n-1}^{2n-2}10^{k}$ .

Et en sommant par puissances de 10 :

$R_{n}^{2}=1\times 10^{0}+2\times 10^{1}+3\times 10^{2}+\cdots +n\times 10^{n-1}+(n-1)\times 10^{n}+(n-2)\times 10^{n-1}+\cdots +2\times 10^{2n-1}+1\times 10^{2n-2}$ .

Ce qui démontre que pour $n$ allant de $1$ à $9$ les carrés de $R_{n}$ sont successivement, écrits en base 10 : $1,121,12321,1234321,123454321,12345654321,1234567654321,123456787654321$ , et $12345678987654321$ . Ce qui est la propriété annoncée en base dix.

En remplaçant "10" par "b", le même raisonnement établit le résultat annoncé pour toute base $b$ et $n<b$ .

Exemples :

les carrés des neuf premiers répunits en base dix sont : $1,121,12321,1234321,123454321,12345654321,1234567654321,123456787654321$ , et $12345678987654321$
comme $21_{10}=111_{4}$ , on sait, sans calculer, que $21_{10}^{2}=12321_{4}$ . Et on vérifie aisément que $21_{10}\times 21_{10}=441_{10}=1+2\times 4^{1}+3\times 4^{2}+2\times 4^{3}+1\times 4^{4}$ .
inversement on sait, sans calculer, que le nombre s'écrivant $1234321$ dans une base $b>4$ est le carré du nombre s'écrivant, dans cette même base, $1111$ .

Propriétés des répunits dans certaines bases

Les répunits de base deux (ou répunits binaires) sont les nombres de Mersenne. Un nombre de Mersenne $M_{n}$ est défini par $M_{n}=2^{n}-1$ , soit, écrit en base deux : $M_{n}=1\underbrace {0....0} _{n}-1=\underbrace {11...1} _{n}=R_{n}^{(2)}$ .

Aucun répunit en base dix n'est un nombre triangulaire, sauf 1^[16].
Tous les répunits en base neuf sont des nombres triangulaires car ${\frac {9^{n}-1}{8}}={\frac {N(N+1)}{2}}$ avec $N={\frac {3^{n}-1}{2}}$ .

Équations diophantiennes faisant intervenir des répunits

L'étude des répunits est liée à celle de certaines équations diophantiennes.

Équation diophantienne ${\frac {x^{n}-1}{x-1}}=y^{q}$

Aucun répunit en base 10 (excepté $R_{1}$ ) n'est la puissance parfaite d'un entier. Cette propriété a été démontrée par les mathématiciens Yann Bugeaud et Maurice Mignotte en 1999^[17]. Une démonstration simple du fait qu'aucun répunit en base dix (sauf $R_{1}$ ) n'est un carré parfait est donnée ci-dessous^[5].

Démonstration

$R_{1}=1$ est évidemment un carré parfait. Soit $n>1$ un entier. Si $R_{n}={\frac {10^{n}-1}{9}}$ était un carré, alors cela voudrait dire qu'il existe un entier $c$ tel que $R_{n}=c^{2}$ , donc tel que ${\frac {10^{n}-1}{9}}=c^{2}$ , ou encore $(3c)^{2}=10^{n}-1$ . Or, le reste de la division par $8$ d'un carré parfait, comme $(3c)^{2}$ , ne peut être que $0$ , $1$ ou $4$ . D'autre part, le reste de la division par $8$ de $10^{n}(n>1)$ ne peut être que $0$ ou $4$ , donc le reste de la division de $10^{n}-1$ par $8$ ne peut être que $3$ ou $7$ : il n'existe donc aucun entier $c$ tel $(3c)^{2}=10^{n}-1$ . Donc aucun $R_{n}$ sauf $R_{1}$ n'est un carré parfait.

Dans d'autres bases, on connait trois répunits qui sont des puissances parfaites : $11111_{3}=121=11^{2},1111_{7}=400=20^{2},111_{18}=343=7^{3}$ que l'on conjecture être les seuls, mais en 2007, on n'avait que des résultats partiels à ce sujet^[18]^,^[19].

Équation diophantienne ${\frac {x^{m}-1}{x-1}}={\frac {y^{n}-1}{y-1}}$

Article détaillé : Conjecture de Goormaghtigh.

Tout répunit est, par définition, de la forme $1+b+b^{2}+...+b^{n}$ , ou, de façon équivalente pour $b>1$ , de la forme $(b^{n+1}-1)/(b-1)$ . Donc se demander s'il existe une (ou plusieurs) base(s) $b$ telle(s) qu'un entier $N$ y soit répunit revient à étudier l'existence d'un (ou plusieurs) couple(s) d'entiers $(b,n)$ solution(s) de l'équation diophantienne $N=1+b+b^{2}+\cdots +b^{n}$ .

Cette équation a une solution triviale pour tout entier $N>2$ : $b=N-1$ et $n=1$ . En effet tout entier $N>2$ s'écrit $11$ en base $b=N-1$ , car $11_{N-1}=(N-1)+1=N$ .

Avec ce résultat, on démontre aisément que $b=N-1$ est la plus grande base dans laquelle un entier $N>1$ est un répunit et qu'en outre, si $N$ est également un répunit dans une base autre que $b=N-1$ , alors le nombre $p$ de chiffres 1 nécessaire pour l'écrire dans cette base est tel que : $2<p<N$ .

Ceci a amené plusieurs mathématiciens à questionner l'existence de nombres qui seraient répunits dans plusieurs bases autres que celle où ils le sont trivialement.

En 1917, le mathématicien belge René Goormaghtigh, cherchant des quadruplets d'entiers $(x,y,m,n)$ solutions de l'équation $(x^{m}-1)/(x-1)=(y^{n}-1)/(y-1)$ avec $1<x<y$ , $n>2$ et $m>2$ , met en évidence deux solutions : $(2,5,5,3)$ qui donne $31=11111_{2}=111_{5}$ et $(2,90,13,3)$ qui donne $8191=1111111111111_{2}=111_{90}$ . Il émet ensuite la conjecture que ces deux quadruplets sont les seules solutions de l'équation étudiée. En 2025, cette conjecture reste ouverte, même si les travaux menés depuis semblent indiquer qu'elle devrait être vraie^[20].

Décomposition des répunits décimaux

Les facteurs premiers colorés en rouge sont des "nouveaux facteurs", divisant $R_{n}$ mais ne divisant pas $R_{k}$ pour tout $k<n$ ; suite A102380 de l'OEIS^[21], et dont le développement décimal de l'inverse est donc de période $n$ .

R₁ =	1
R₂ =	11
R₃ =	3 · 37
R₄ =	11 · 101
R₅ =	41 · 271
R₆ =	3 · 7 · 11 · 13 · 37
R₇ =	239 · 4649
R₈ =	11 · 73 · 101 · 137
R₉ =	3² · 37 · 333667
R₁₀ =	11 · 41 · 271 · 9091

R₁₁ =	21649 · 513239
R₁₂ =	3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 101 · 9901
R₁₃ =	53 · 79 · 265371653
R₁₄ =	11 · 239 · 4649 · 909091
R₁₅ =	3 · 31 · 37 · 41 · 271 · 2906161
R₁₆ =	11 · 17 · 73 · 101 · 137 · 5882353
R₁₇ =	2071723 · 5363222357
R₁₈ =	3² · 7 · 11 · 13 · 19 · 37 · 52579 · 333667
R₁₉ =	1111111111111111111
R₂₀ =	11 · 41 · 101 · 271 · 3541 · 9091 · 27961

R₂₁ =	3 · 37 · 43 · 239 · 1933 · 4649 · 10838689
R₂₂ =	11² · 23 · 4093 · 8779 · 21649 · 513239
R₂₃ =	11111111111111111111111
R₂₄ =	3 · 7 · 11 · 13 · 37 · 73 · 101 · 137 · 9901 · 99990001
R₂₅ =	41 · 271 · 21401 · 25601 · 182521213001
R₂₆ =	11 · 53 · 79 · 859 · 265371653 · 1058313049
R₂₇ =	3³ · 37 · 757 · 333667 · 440334654777631
R₂₈ =	11 · 29 · 101 · 239 · 281 · 4649 · 909091 · 121499449
R₂₉ =	3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77843839397
R₃₀ =	3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161

On remarque qu'il n'y a que trois répunits premiers dans les trente premiers répunits : R₂, R₁₉ et R₂₃. On peut également remarquer que la décomposition en facteurs premiers des répunits de base 10 fait apparaître des nombres premiers constitués exclusivement des chiffres 0, 1 et 9, comme 9091 dans R₁₀, 9901 dans R₁₂, 909091 dans R₁₄, etc^[2].

Répunits premiers

Historiquement, c'est dans le cadre des mathématiques récréatives qu'a été entreprise l'étude des répunits, en tentant notamment de les factoriser. Le projet Cunningham se propose de répertorier les factorisations des répunits en base 2^[22], 3, 5, 6, 7, 10^[23]^,^[24], 11 et 12.

D'après la propriété P3 ci-dessus, $R_{n}^{(b)}$ n'est premier que si $n$ est premier^[14]. Mais ce n'est pas une condition suffisante, comme l'illustre ce contre-exemple : en base dix, 3 est premier mais $R_{3}=111=3\times 37$ est composé^[25].

Cependant, $R_{3}^{(2)}=7$ est premier. $R_{3}^{(b)}$ est également premier pour $b$ égal par exemple (écrit en base dix) à 3, 5, 6, 8, 12, 14, 15, 17, 20, 21, 24, 27, 33, 38, 41, 50, 54, 57, 59, 62, 66, 69, 71, 75, 77, 78, 80, 89, 90, 99, 101, 105, 110, 111,… . C'est la suite A002384 de l'OEIS^[26] ; l'écriture en base dix de $R (111) 3$ est 12 433.

Heuristiquement, les répunits premiers sont assez rares. En effet, d'après le théorème des nombres premiers, la probabilité qu'un nombre soit premier est a priori égale à l'inverse de son logarithme, donc proportionnelle à l'inverse de son nombre de chiffres. Cette heuristique donne $1/n$ comme probabilité que le $n$ -ième nombre répunit dans une base fixée soit premier. On conjecture cependant qu'il en existe une infinité^[27].

En base dix, on sait que $R_{p}$ est premier pour onze valeurs de $p$ : 2, 19, 23, 317, 1031, 49 081, 86 453, 109 297, 270 343, 5 794 777, 8 177 207 (suite A004023 de l'OEIS). D'après cette entrée de l'OEIS, en 2023 seuls les sept premiers sont réellement prouvés comme étant premiers, les 4 suivants seulement comme nombres premiers probables^[27]^,^[28].

La liste des nombres premiers qui sont des répunits dans au moins une base (incluant donc les nombres de Mersenne premiers) est répertoriée comme suite A085104 de l'OEIS.

Tout répunit premier est trivialement un nombre premier permutable, c'est-à-dire qu'il reste premier après toute permutation de ses chiffres dans la base considérée, puisque ceux-ci sont identiques. En base dix, après 991, les seuls premiers permutables connus sont des repunits mais il n'est pas démontré qu'il s'agit des seuls^[27].

Concernant le prédécesseur d'un répunit d’indice premier, on peut noter que, d'après le petit théorème de Fermat, pour $p$ premier non diviseur de $b-1$ : $p$ divise $R_{p}^{(b)}-1={\frac {b^{p}-b}{b-1}}$ ; par exemple, $1111110$ est multiple de 7.

Honneur

L'astéroïde (11111) Repunit porte le nom de ces nombres^[29].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Repunit » (voir la liste des auteurs).

[1]
Jean-Paul Delahaye, « La persistance des nombres », Pour la science, n^o 430,‎ août 2013, p. 83 (lire en ligne)
[2]
(en) Albert H. Beiler, Recreations in the Theory of Numbers : The Queen of Mathematics Entertains, Dover Publications, 1966 (1^re éd. 1964), 349 p. (ISBN 978-0-486-21096-4, lire en ligne), chap. 11.
[3]
« Corrigé d'une épreuve du concours ISE de 2006 ».
[4]
J. Moreau de Saint-Martin (multi-as proposé à la suite de M. D. Indjoudjian, dans la revue La Jaune et la Rouge), « À la recherche des multi-as carrés », Quadrature, n^o 26,‎ octobre 1996, p. 25-27.
[5]
Richard Choulet, « Quelques remarques sur les répuns », Bulletin de l'APMEP, n^o 464,‎ mai 2006, p. 407-412 (lire en ligne).
[6]
Robert Rolland, « Notes sur les développements décimaux périodiques », Bulletin de l'APMEP, n^o 472,‎ septembre octobre 2007, p. 749-750 (lire en ligne)
[7]
Daniel Lignon, Le dictionnaire de (presque) tous les nombres entiers, Ellipses, 2023, p. 417
[8]
Gérard Villemin, « Nombres uniformes en 1 ou repunits ou nombres polymonadiques », sur villemin.gerard.free.fr
[9]
Ont notamment contribué à ces recherches les mathématiciens Jean Bernoulli, Leonhard Euler, Edouard Lucas et Allan Cunningham.
[10]
(en) Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers (en) [détail des éditions], vol. 1, 1999, p. 164-167.
[11]
En effet, si $p$ est premier différent de 2 et 5, la longueur de la période de $1/p$ est l'ordre multiplicatif de 10 dans Z/pZ soit le plus petit $n$ tel que $p$ divise $10^{n}-1$ ; si de plus $p$ est différent de 3, c'est bien le plus petit $n$ tel que $p$ divise $(10^{n}-1)/9$ .
[12]
(en) Richard L. Francis, « Mathematical Haystacks: Another Look at Repunit Numbers », The College Mathematics Journal, vol. 19, n^o 3,‎ 1988, p. 240-246.
[13]
Mais pour un raisonnement direct, voir par exemple le devoir sur Wikiversité (lien en bas de page).
[14]
Attention, la réciproque n'est pas vraie. Par exemple, en base $10$ , $3$ est premier mais $R_{3}=111=3\times 37$ est composé.
[15]
(en) Eric W. Weisstein, « Demlo Number », sur mathworld.wolfram.com (consulté le 20 décembre 2025)
[16]
John H. Jaroma, « Triangular repunit-there is but 1 », Czechoslovak Mathematical Journal, vol. 60, n^o 4,‎ 2010, p. 1075–1077 (lire en ligne)
[17]
Yann Bugeaud et Maurice Mignotte, « Sur l'équation diophantienne (x^n−1) /(x−1) = y^q. », Comptes Rendus de l'Académie des Sciences - Series I - Mathematics, vol. 328, n^o 9,‎ 1^er mai 1999, p. 741–744 (ISSN 0764-4442, DOI 10.1016/S0764-4442(99)80263-8, lire en ligne, consulté le 25 novembre 2025)
[18]
Yann Bugeaud, Guillaume Hanrot, Maurice Mignotte, « Sur l’équation diophantienne (x^n−1)/(x−1) = y^q, III. », [Rapport de recherche] RR-3808, INRIA,‎ 1999 (lire en ligne)
[19]
(en) Yann Bugeaud, Preda Mihalescu, « On the Nagell-Ljunggren equation », Mathematica Scandinavica, vol. 101,‎ 2007, p. 177–183 (lire en ligne)
[20]
(en) Yann Bugeaud et T.N. Shorey, « On the Diophantine equation (x^m-1)/(x-1) = (y^n-1)/(y-1) », Pacific Journal of Mathematics, vol. 207, n^o 1,‎ 2002, p. 61-75 (ISSN 0030-8730, DOI 10.2140/pjm.2002.207-1, lire en ligne, consulté le 19 décembre 2025)
[21]
Pour plus d'informations, voir (en) « Factorization of 11...11 (Repunit) », sur Studio Kamada 日本語に.
[22]
(en) « Factorizations of 2^n-1, n odd, n<1200 », sur cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun.
[23]
(en) Yousuke Koide, « Factorizations of Repunit Numbers », 2015.
[24]
(en) « Repunits and their prime factors », sur worldofnumbers.com.
[25]
Explications complémentaires dans (en) Repunit sur The Prime Pages par Chris Caldwell.
[26]
Cette suite est constituée d'entiers $m$ tels que le nombre $m^{2}+m+1$ est premier. Or, en base $m$ , ce nombre s'écrit $R_{3}^{(m)}=111_{m}$ . Donc $R_{3}^{(m)}$ est premier si et seulement si $m^{2}+m+1$ est premier.
[27]
Jean-Paul Delahaye, « Des nombres premiers robustes ou délicats », Pour la Science, n^o 526,‎ août 2021, p. 80-85 (lire en ligne).
[28]
(en) « Repunit », sur primes.utm.edu/top20.
[29]
(11111) Repunit = 1997 EC35 = 1995 WL, Centre des planètes mineures, consulté le 22 août 2024.

Définition

Histoire

Quelques propriétés et exemples

Propriétés générales

Propriétés des répunits dans certaines bases

Équations diophantiennes faisant intervenir des répunits

Équation diophantienne ${\frac {x^{n}-1}{x-1}}=y^{q}$

Équation diophantienne ${\frac {x^{m}-1}{x-1}}={\frac {y^{n}-1}{y-1}}$

Décomposition des répunits décimaux

Répunits premiers

Honneur

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

Liens externes

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Propriétés générales

Propriétés des répunits dans certaines bases

Équations diophantiennes faisant intervenir des répunits

Équation diophantienne x n − 1 x − 1 = y q {\displaystyle {\frac {x^{n}-1}{x-1}}=y^{q}}

Équation diophantienne x m − 1 x − 1 = y n − 1 y − 1 {\displaystyle {\frac {x^{m}-1}{x-1}}={\frac {y^{n}-1}{y-1}}}

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Bibliographie

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