Suite de Tribonacci

Une suite de Tribonacci est une suite d'entiers dont la relation de récurrence est inspirée de celle de la suite de Fibonacci : chaque terme est la somme des trois termes qui le précèdent (dans une suite de Fibonacci, chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent).

La suite de Tribonacci possède une histoire riche et intéressante^[1]. Sa référence historique la plus marquante est liée à Charles Darwin (1809–1882) et à son ouvrage majeur « De l'origine des espèces », dans lequel il évoque la reproduction et la croissance de la population des éléphants comme exemple illustratif^[2]. La première étude mathématique de la suite de Tribonacci, date de 1914 et est due à Agronomof (voir ci-dessous) ^[3].

Le terme de Tribonacci est un néologisme formé de tri (récurrence à trois termes) et de bonacci (en allusion au mathématicien Fibonacci). Il a été suggéré par Feinberg en 1963^[4]. Il existe de même des suites de Tetranacci où chaque terme est la somme des 4 termes qui le précèdent et même des suites de $k$ -bonacci où chaque terme est la somme des $k$ termes qui le précèdent.

On définit aussi une suite de mots de Tribonacci, construite à partir de trois lettres à l'aide de la substitution de Tribonacci : a donne ab, b donne ac, et c donne a.

Étude mathématique

La suite de Tribonacci $(T_{n})_{n\geqslant 0}$ étudiée ici est définie par :

$T_{0}=0$ , $T_{1}=1$ , $T_{2}=1$ ;
$T_{n+3}=T_{n+2}+T_{n+1}+T_{n}$ pour $n\geq 0$ .

Les dix premiers termes sont

0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81

(c'est suite A000073 de l'OEIS décalée d'un cran).

La relation de récurrence peut s'écrire aussi

T_{n}=T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3}=2T_{n-1}-T_{n-4}

pour

n\geqslant 4

.

Comme

{\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}T_{n-1}\\T_{n}\\T_{n+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}T_{n}\\T_{n+1}\\T_{n+2}\end{bmatrix}}

,

on a

{\begin{bmatrix}T_{n}\\T_{n+1}\\T_{n+2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&1&1\end{bmatrix}}^{n}{\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}}

La série génératrice de cette suite est donnée par :

F=X+X^{2}+2X^{3}+4X^{3}+7X^{4}+\dots =\sum _{n\geqslant 0}T_{n}X^{n}={\frac {X}{1-X-X^{2}-X^{3}}}

.

Démonstration

La série génératrice de la suite $T_{n-1}$ est alors $XF$ , celle de $T_{n-2}$ est $X^{2}F$ et celle de $T_{n-3}$ est $X^{3}F$ ; la relation de récurrence $T_{n}=T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3}$ , valable pour tout n supérieur ou égal à 3, assure que

F=XF+X^{2}F+X^{3}F+X+X^{2}-X^{2}

.

Les termes en complément correspondent aux 3 premiers termes des suites. Il suffit alors de résoudre cette équation. La fonction génératrice de la suite est donc :

F={\frac {X}{1-X-X^{2}-X^{3}}}

.

Verner Emil Hoggatt Jr. (en) a prouvé en 1980^[5] qu'il existe une partition de $\mathbb {N}$ en deux ensembles dont la somme ne contient aucun élément de la suite de Tribonacci.

Formule de type Binet

L'étude des suites récurrentes linéaires permet de dire que cette suite est combinaison linéaire des trois suites $(\tau ^{n})$ , $(r^{n})$ , $({\overline {r}}^{n})$ où $\tau ,r,{\overline {r}}$ sont les trois racines du polynôme $X^{3}-X^{2}-X-1$ . La racine réelle (environ égale à 1,839), notée $\tau$ par analogie avec la notation $\varphi$ du nombre d'or ou constante de Fibonacci, est appelée constante de Tribonacci. Elle est égale à la limite du quotient (suivant sur précédent) de deux termes consécutifs. Les formules de Cardan en donnent une valeur exacte^[6]:

\tau ={\frac {{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+1}{3}}

.

Le terme général de la suite est alors :

T_{n}=a_{1}\tau ^{n}+a_{2}r^{n}+a_{3}{\overline {r}}^{n}

où les

a_{i}

sont donnés par les formules suivantes ^[4] :

a_{1}={\frac {\tau }{|\tau -r|^{2}}}

a_{2}={\frac {r}{(r-{\overline {r}})(r-\tau )}}

a_{3}={\overline {a_{2}}}

D'après les relations entre coefficients et racines, on a $r+{\overline {r}}=1-\tau ,r{\overline {r}}=1/\tau$ , donc $r,{\overline {r}}$ , sont de module ${\frac {1}{\sqrt {\tau }}}<1$ . On obtient :

T_{n}={\frac {\tau ^{n}}{\tau (5-\tau ^{2})}}+\varepsilon _{n}

où

\varepsilon _{n}\rightarrow 0

,

et aussi, uniquement en fonction de $\tau$ ^[7]^,^[8] :

T_{n}=\left\lfloor {\frac {\tau ^{n}}{\tau (5-\tau ^{2})}}\right\rceil ,

où $\left\lfloor .\right\rceil$ désigne la fonction « entier le plus proche ».

Identité d'Agronomof

La note d'Agronomof de 1914^[3] est un petit bijou qui fut ignoré, n'eut aucun impact à l'époque et prit la poussière pendant plus d'un demi-siècle^[1]. Bien qu'il s'agisse d'une note très brève, elle contient l'identité puissante, symétrique en $n$ et $p$ , valable pour $n$ et $p$ entiers relatifs : $T_{n+p+1}=T_{p+1}T_{n+1}+T_{p}T_{n}+T_{p-1}T_{n}+T_{p}T_{n-1}.$ Pour $p=1$ , on retrouve la récurrence de Tribonacci originale. En prenant $p=n$ et $p=n-1$ , on obtient : $T_{2n+1}=T_{n+1}^{2}+2T_{n}T_{n-1}+T_{n}^{2}\quad \mathrm {and} \quad T_{2n}=T_{n-1}^{2}+2T_{n}T_{n+1}-T_{n}^{2}.$ Ces deux identités peuvent être utilisées pour obtenir une expression simple de la somme des carrés des nombres de Tribonacci.

Propriétés de la constante de Tribonacci

On a :

$\tau ={\frac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}{3}}={\frac {1+4\cosh \left({\tfrac {1}{3}}\cosh ^{-1}\left(2+{\tfrac {3}{8}}\right)\right)}{3}}\approx 1{,}839\,286\,755\,214\,161$ , décimales données par la suite A058265 de l'OEIS.

Cette constante vérifie par définition :

\tau ^{3}=\tau ^{2}+\tau +1

, soit

\tau =1+{\frac {1}{\tau }}+{\frac {1}{\tau ^{2}}}

et

{\frac {1}{\tau }}+{\frac {1}{\tau ^{2}}}+{\frac {1}{\tau ^{3}}}=1

donc aussi :

\tau ^{4}=2\tau ^{3}-1

soit

\tau +{\frac {1}{\tau ^{3}}}=2

Son inverse, solution positive de $x 3 + x 2 + x = 1$ a pour décimales la suite A192918 de l'OEIS.

Elle intervient dans les coordonnées des sommets du cube adouci.

Construction géométrique

La constante de Tribonacci, algébrique de degré 3, n'est pas constructible à la règle et au compas, mais on peut la construire à la règle graduée et au compas.

Dans la figure ci-contre, posant $\alpha ={\widehat {BAE}}={\widehat {BDC}}$ , on a $BD=\tan {\frac {\alpha }{2}}=\cos \alpha$ , donc, posant $t=\tan {\frac {\alpha }{2}}$ , on a $AC=1+\sin \alpha =1+{\frac {2t}{1+t^{2}}}$ , sachant $t={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$ . En éliminant $t$ , on obtient $AC^{3}-AC^{2}-AC-1=0$ , ce qui montre que la constante de Tribonacci est égale à la longueur $AC$ .

On a $EC=\tau (\tau -1)\approx 1,543689$ , voir la suite A256099 de l'OEIS.

L'angle $\alpha ={\widehat {BAE}}=\arccos \tau$ vaut environ 57,065°.

Interprétation combinatoire de la suite de Tribonacci

$T n +1$ est égal au nombre de suites finies d'entiers égaux à 1, 2 ou 3 dont la somme est égale à $n$ , c'est-à-dire le nombre de compositions de $n$ formées à partir de ces entiers ; par exemple $T_{4}=4$ car 3 s'écrit $1+1+1\ ;1+2\ ;2+1\ {\text{ou }}3$ ^[9]^,^[10].

De façon imagée, $T n +1$ est le nombre de façons de vider un tonneau de $n$ litres à l'aide de bouteilles de un, deux, ou trois litres, ou le nombre de façons de découper un segment de longueur $n$ en segments de longueur 1, 2 ou 3.

Démonstration

les compositions de  $n$  se terminant par 1 sont obtenues en ajoutant 1 à la fin d'une composition de  $n-1$ , celles se terminant par 2 sont obtenues en ajoutant 2 à la fin d'une composition de  $n-2$ , celles se terminant par 3 sont obtenues en ajoutant 3 à la fin d'une composition de  $n-3$  , donc le nombre  $C_{n}$  de composition de  $n$  vérifie  $C_{n}=C_{n-1}+C_{n-2}+C_{n-3}$ . De plus,  $C_{0}=T_{1}=1$  (la composition vide),  $C_{1}=T_{2}=1$  (la composition (1)),  $C_{2}=T_{3}=2$  (les compositions (1,1) et (2)), ce qui montre la relation.

De manière plus générale^[9], le terme d'indice $n$ + 1 d'une suite de $k$ -bonacci (chaque terme est la somme des $k$ précédents, les termes d'indice $0,1,2,3,\dots ,k-1$ étant égaux à $\left(0,1,1,2,\dots ,2^{k-3}\right)$ correspond au nombre de compositions de $n$ formées à partir des entiers de 1 à $k$ .

Suite de mots de Tribonacci

C'est la suite de mots définie par :

M(1)=a

et par la substitution de Tribonacci suivante :

a\mapsto ab,b\mapsto ac,c\mapsto a

.

On obtient la suite de mots :

a,ab,ab|ac,abac|ab|a,abacaba|abac|ab,abacabaabacab|abacaba|abac...

où chaque mot est obtenu par concaténation des 3 mots précédents : la longueur du mot $M(n)$ est donc égale à $T_{n+1}$ .

Le mot infini obtenu à la limite est le mot infini de Tribonacci. C'est un mot purement morphique.

Cette suite de mots intervient notamment dans la construction de la fractale de Rauzy.

Autres suites ayant la récurrence de Tribonacci

Une première suite

La suite définie par

{\begin{cases}T'_{0}=3,T'_{1}=1,T'_{2}=3\\T'_{n+3}=T'_{n+2}+T'_{n+1}+T'_{n}\end{cases}}

est la suite somme des puissances n-ièmes des racines de

X^{3}-X^{2}-X-1

donc a la forme :

T'_{n}=\tau ^{n}+r^{n}+{\overline {r}}^{n}

.

Les premiers termes sont : 3, 1, 3, 7, 11, 21, 39, 71, 131,..., (c'est la suite A001644 de l'OEIS).

De $r+{\overline {r}}=1-\tau ,r{\overline {r}}=1/\tau$ , on tire $r={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }}{\sqrt {\tau }}}$ où $\theta =\arccos(-{\sqrt {\tau }}(\tau -1)/2)$ , d'où la formule :: $T'_{n}=\tau ^{n}+{\frac {2\cos n\theta }{\sqrt {\tau ^{n}}}}$ . Et à partir de $n=4$ , on a :

T'_{n}=\lfloor \tau ^{n}\rceil

.

La matrice compagnon ${\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}}$ de $X^{3}-X^{2}-X-1$ ayant pour valeurs propres $\tau ,r,{\overline {r}}$ , on obtient :

T'_{n}=\operatorname {Trace} \left({\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}}^{n}\right).

Cette suite est à la suite de Tribonacci définie ci-dessus ce qu'est la suite de Perrin à la suite de Padovan ; elle possède la propriété arithmétique remarquable que si $p$ est premier, $T'_{p}-1$ est un multiple de $p$ .