Système de coordonnées du plan hyperbolique

Les coordonnées cartésiennes euclidiennes, définies par projections orthogonales sur deux axes, s'adaptent au plan hyperbolique (c'est le système des coordonnées axiales), mais l'absence de rectangles en géométrie hyperbolique (où la somme des angles d'un quadrilatère est toujours inférieure à 2π) rend ce système moins efficace ; en particulier, un couple de nombres ne correspond pas toujours à un point. C'est pourquoi, une fois définis une origine et un axe des abscisses, plusieurs systèmes « cartésiens » existent.

On définit un axe des ordonnées perpendiculaire à l'axe des abscisse et passant par l'origine ; les coordonnées axiales d'un point P, x_a et y_a, sont les mesures algébriques des distances à l'origine des projections orthogonales de P sur les deux axes^[1].

Tous les points de H, et même la plupart des points à l'infini, ont des coordonnées axiales, mais un couple de nombres (x,y) ne correspond à un point de H que si ${\displaystyle \operatorname {th} ^{2}(x)+\operatorname {th} ^{2}(y)<1}$ ; si ${\displaystyle \operatorname {th} ^{2}(x)+\operatorname {th} ^{2}(y)=1}$, le couple correspond à un point à l'infini, et les couples tels que ${\displaystyle \operatorname {th} ^{2}(x)+\operatorname {th} ^{2}(y)>1}$ ne correspondent à rien. Ainsi, le système des coordonnées axiales définit une injection de H vers le plan ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, dont l'image (l'ensemble des points (x,y) tels que ${\displaystyle \operatorname {th} ^{2}(x)+\operatorname {th} ^{2}(y)<1}$) est une région ressemblant à une astroïde, représentée en rouge ci-contre.

La distance du point ${\displaystyle P(x_{a},y_{a})}$ à l'axe des abscisses est ${\displaystyle \operatorname {argth} \left(\operatorname {th} (y_{a})\operatorname {ch} (x_{a})\right)}$ ; la distance à l'axe des ordonnées est ${\displaystyle \operatorname {argth} \left(\operatorname {th} (x_{a})\operatorname {ch} (y_{a})\right)}$.

Prenant comme axe polaire l'axe des abscisses, et comme pôle l'origine, on a les relations suivantes entre coordonnées axiales et polaires :

${\displaystyle x=\operatorname {argth} \,(\operatorname {th} r\cos \theta )}$

${\displaystyle y=\operatorname {argth} \,(\operatorname {th} r\sin \theta )}$

${\displaystyle r=\operatorname {argth} \,({\sqrt {\operatorname {th} ^{2}x+\operatorname {th} ^{2}y}}\,)}$

${\displaystyle \theta =2\operatorname {arctan} \,\left({\frac {\operatorname {th} y}{\operatorname {th} x+{\sqrt {\operatorname {th} ^{2}x+\operatorname {th} ^{2}y}}}}\right)\,.}$

L'abscisse x_ℓ d'un point P, en coordonnées de Lobatchevski, est la même qu'en coordonnées axiales ; l'ordonnée y_ℓ est la distance (en mesure algébrique) entre ce point P et sa projection orthogonale sur l'axe des x^[1]. On a :

${\displaystyle x_{l}=x_{a}\ ,\ \operatorname {th} (y_{l})=\operatorname {th} (y_{a})\operatorname {ch} (x_{a})\ ,\ \operatorname {th} (y_{a})={\frac {\operatorname {th} (y_{l})}{\operatorname {ch} (x_{l})}}}$.

Dans ce système, la distance entre deux points est donnée par :

${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2}\rangle )=\operatorname {argch} \left(\operatorname {ch} y_{1}\operatorname {ch} (x_{2}-x_{1})\operatorname {ch} y_{2}-\operatorname {sh} y_{1}\operatorname {sh} y_{2}\right)\,.}$

Le tenseur métrique correspondant est : ${\displaystyle (\mathrm {d} s)^{2}=\operatorname {ch} ^{2}y\,(\mathrm {d} x)^{2}+(\mathrm {d} y)^{2}}$.

Dans ce système, les droites ont pour équation x = a constante (pour les perpendiculaires à l'axe des abscisses) ou

${\displaystyle \operatorname {th} y=A\operatorname {ch} x+B\operatorname {sh} x}$,

où A et B sont des constantes telles que ${\displaystyle A^{2}<1+B^{2}}$.

La relation avec les coordonnées polaires est :

${\displaystyle x=\operatorname {argth} \,(\operatorname {th} r\cos \theta )}$ ;

${\displaystyle y=\operatorname {argsh} \,(\operatorname {sh} r\sin \theta )}$ ;

${\displaystyle r=\operatorname {argch} \,(\operatorname {ch} x\operatorname {ch} y)}$ ;

${\displaystyle \theta =2\operatorname {arctan} \,\left({\frac {\operatorname {sh} y}{\operatorname {sh} x\operatorname {ch} y+{\sqrt {\operatorname {ch} ^{2}x\operatorname {ch} ^{2}y-1}}}}\right)\,}$.

Un système analogue utilise un horocycle comme axe des ordonnées^[2] : utilisant l'horocycle passant par l'origine et centré sur le point ${\displaystyle \Omega }$ à l'infini de l'axe des abscisses (dans le disque de Poincaré), on associe à chaque point P le point P_h situé sur l'horocycle et sur la droite ${\displaystyle P\Omega }$.

L'abscisse x_h est la distance de P à P_h (comptée négativement si P_h est entre P et ${\displaystyle \Omega }$) ; l'ordonnée y_h est la longueur de l'arc d'horocycle de l'origine à P_h.

Dans ce système, la distance entre deux points est :

${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2}\rangle )=\operatorname {argch} (\operatorname {ch} (x_{2}-x_{1})+{\tfrac {1}{2}}(y_{2}-y_{1})^{2}\exp(-x_{1}-x_{2}))\,,}$

et le tenseur métrique correspondant est ${\displaystyle (\mathrm {d} s)^{2}=(\mathrm {d} x)^{2}+\exp(-2x)\,(\mathrm {d} y)^{2}\,.}$

Les droites ont des équations de la forme ${\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}\ln(\exp(2x_{0})-(y-y_{0})^{2})}$, où x₀ et y₀ sont les coordonnées du point de la droite ayant la plus grande valeur de x.

Partant d'un modèle du plan hyperbolique, on peut prendre comme coordonnées d'un point les coordonnées cartésiennes de son image dans le modèle.

Dans le modèle de Klein-Beltrami, le plan hyperbolique est représenté par l'intérieur du disque unité ; les coordonnées de Beltrami d'un point sont les coordonnées cartésiennes de son image (l'origine du repère étant prise au centre du disque); on a^[1] : ${\displaystyle x_{b}=\operatorname {th} (x_{a}),\ y_{b}=\operatorname {th} (y_{a})}$.

De même, les coordonnées de Poincaré sont les coordonnées cartésiennes du point dans le modèle du disque de Poincaré^[1] ; on a avec les coordonnées de Beltrami la relation

${\displaystyle x_{p}={\frac {x_{b}}{1+{\sqrt {1-x_{b}^{2}-y_{b}^{2}}}}},\ \ y_{p}={\frac {y_{b}}{1+{\sqrt {1-x_{b}^{2}-y_{b}^{2}}}}}}$

Les coordonnées de Weierstrass sont celles de l'image du point dans le modèle de l'hyperboloïde^[1] ; le point P de coordonnées axiales (x_a, y_a) a pour coordonnées de Weierstrass

${\displaystyle \left({\frac {\operatorname {th} x_{a}}{\sqrt {1-\operatorname {th} ^{2}x_{a}-\operatorname {th} ^{2}y_{a}}}}\ ,\ {\frac {\operatorname {th} y_{a}}{\sqrt {1-\operatorname {th} ^{2}x_{a}-\operatorname {th} ^{2}y_{a}}}}\ ,\ {\frac {1}{\sqrt {1-\operatorname {th} ^{2}x_{a}-\operatorname {th} ^{2}y_{a}}}}\right)}$

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Coordinate systems for the hyperbolic plane » (voir la liste des auteurs).

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