Test de Fisher d'égalité de deux variances

Si les moyennes sont inconnues

On veut tester ${\textstyle H_{0}:\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2},H_{1}:\sigma _{1}^{2}\neq \sigma _{2}^{2}}$ , si les moyennes ${\displaystyle m_{1}}$et ${\displaystyle m_{2}}$sont inconnues on les estime par ${\textstyle {\overline {X_{n_{1}}}}}$ et ${\textstyle {\overline {Y_{n_{2}}}}}$ :

La statistique de test fait appel à la loi de Fisher ${\displaystyle F}$:

${\displaystyle Z={\frac {S_{n_{1}}^{2}}{S_{n_{2}}^{2}}}\sim F(n_{1}-1,n_{2}-1),}$

avec

${\displaystyle S_{n_{1}}^{2}={\frac {1}{n_{1}-1}}\sum _{i=1}^{n_{1}}\left(X_{i}-{\overline {X_{n_{1}}}}\right)^{2}}$ et ${\displaystyle S_{n_{2}}^{2}={\frac {1}{n_{2}-1}}\sum _{i=1}^{n_{2}}\left(Y_{i}-{\overline {X_{n_{2}}}}\right)^{2}.}$

On rejette (au niveau ${\displaystyle \alpha }$) l'hypothèse nulle si la réalisation de la statistique de test ${\displaystyle Z}$ est soit plus grande que le quantile d'ordre ${\textstyle 1-{\frac {\alpha }{2}}}$ soit plus petite que le quantile ${\textstyle {\frac {\alpha }{2}}}$ de la loi de Fisher correspondante.

Si les moyennes sont connues

On veut tester ${\displaystyle H_{0}:\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2},H_{1}:\sigma _{1}^{2}\neq \sigma _{2}^{2}}$ , si les moyennes ${\displaystyle m_{1}}$et ${\displaystyle m_{2}}$sont connues. La statistique de test est alors

${\displaystyle {\tilde {Z}}={\frac {{\tilde {S}}_{n_{1}}^{2}}{{\tilde {S}}_{n_{2}}^{2}}}\sim F(n_{1},n_{2}),}$

avec

${\displaystyle {\tilde {S}}_{n_{1}}^{2}={\frac {1}{n_{1}}}\sum _{i=1}^{n_{1}}\left(X_{i}-{m_{1}}\right)^{2}}$ et ${\displaystyle {\tilde {S}}_{n_{2}}^{2}={\frac {1}{n_{2}}}\sum _{i=1}^{n_{2}}\left(Y_{i}-{m_{2}}\right)^{2}.}$

On rejette (au niveau ${\displaystyle \alpha }$) l'hypothèse nulle si la réalisation de la statistique de test ${\displaystyle {\tilde {Z}}}$ est soit plus grande que le quantile d'ordre ${\textstyle 1-{\frac {\alpha }{2}}}$ soit plus petite que le quantile ${\textstyle {\frac {\alpha }{2}}}$ de la loi de Fisher correspondante.

Remarque

Initialement, à l'époque où on utilisait des tables des quantiles, le test était souvent présenté en calculant le rapport de la variance la plus grande sur la variance la plus faible, ce qui permettait de ne comparer la valeur de la statistique de test qu'au quantile ${\textstyle 1-{\frac {\alpha }{2}}}$. Dorénavant, puisqu'on n'utilise plus de tables de quantiles mais des logiciels statistiques, cette présentation a perdu de son intérêt.