Transvection

Dans une base de ${\displaystyle E}$ contenant une base de ${\displaystyle H}$ dont l'un des vecteurs est un vecteur directeur de ${\displaystyle D}$, la transvection a pour matrice une matrice du type

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&&&0\\&1&&\lambda &\\&&\ddots &&\\&0&&1&\\&&&&1\end{pmatrix}}=I_{n}+\lambda E_{i,j}}$

avec i ≠ j, la matrice E_i,j étant constituée de zéros partout sauf un 1 en position (i, j).

Ces matrices I_n + λE_i,j sont appelées matrices élémentaires de transvection^[10] ; elles engendrent le groupe spécial linéaire ${\displaystyle SL_{n}(K)}$.

La forme la plus réduite, qui est sa forme de Jordan, de la matrice d'une transvection différente de l'identité est

${\displaystyle {\begin{pmatrix}I_{n-2}&{\begin{matrix}0&0\\\vdots &\vdots \\0&0\end{matrix}}\\{\begin{matrix}0&\ldots &0\\0&\ldots &0\end{matrix}}&{\begin{matrix}1&1\\0&1\end{matrix}}\end{pmatrix}}=I_{n}+E_{n-1,n}.}$

• 

  La transvection de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$associée à la matrice ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}}}$, illustrée ci-contre, est définie par ${\displaystyle f(x,y)=(x+2y,y)=(x,y)+h(x,y)U}$, où ${\displaystyle h:=(x,y)\mapsto 2y}$ et ${\displaystyle U=(1,0)}$ (cf. la troisième caractérisation ci-dessus) ; ${\displaystyle f}$ est une transvection de base l'axe des abscisses et de direction le même axe.
• Une transvection d'un espace vectoriel euclidien est entièrement définie par un vecteur normal et normé ${\displaystyle n}$ de son hyperplan ${\displaystyle H}$ de base, un vecteur normé ${\displaystyle {\vec {u}}}$ de sa direction, et le coefficient ${\displaystyle \lambda }$ défini par ${\displaystyle f({\vec {n}})={\vec {n}}+\lambda {\vec {u}}}$. On a alors : ${\displaystyle f({\vec {x}})={\vec {x}}+\lambda ({\vec {x}}.{\vec {n}}){\vec {u}}}$ ^[11]. La matrice de ${\displaystyle f}$ dans une base orthonormée dont les ${\displaystyle n-2}$ premiers vecteurs sont dans ${\displaystyle H}$ et se terminant par ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle n}$ est ${\displaystyle I_{n}+\lambda E_{n-1,n}}$.

• Des transvections sont utilisées pour définir la courbe de Takagi.

Une transvection d'un espace affine ${\displaystyle E}$ est soit l'identité, soit une application affine de ${\displaystyle E}$ dans ${\displaystyle E}$ dont l'ensemble des points invariants est un hyperplan ${\displaystyle H}$ de ${\displaystyle E}$ (base de la transvection) et telle que pour tout point ${\displaystyle M}$ le vecteur ${\displaystyle {\overrightarrow {MM'}}}$ reste parallèle à ${\displaystyle H}$.

Les vecteurs ${\displaystyle {\overrightarrow {MM'}}}$ forment alors une droite vectorielle ${\displaystyle {\overrightarrow {D}}}$ (direction de la transvection)^[12].

Une transvection affine a pour partie linéaire une transvection vectorielle. Réciproquement, les applications affines ayant pour partie linéaire une transvection vectorielle sont les transvections glissées, composée d'une transvection et d'une translation de vecteur parallèle à la base.

Étant donnés deux points ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle A'}$ tels que la droite ${\displaystyle (AA')}$ est parallèle à un hyperplan ${\displaystyle H}$, mais non incluse dans cet hyperplan, il existe une unique transvection de base ${\displaystyle H}$ envoyant ${\displaystyle A}$ sur ${\displaystyle A'}$  ; on obtient l'image ${\displaystyle M'}$ d'un point ${\displaystyle M}$ dans le cas où ${\displaystyle (AM)}$ est sécante à ${\displaystyle H}$ par la construction de la figure ci-contre ; dans le cas contraire, ${\displaystyle {\overrightarrow {MM'}}={\overrightarrow {AA'}}}$^[3].

Si l'on plonge l'espace affine ${\displaystyle E}$ dans son complété projectif^[13], en lui adjoignant un hyperplan à l'infini ${\displaystyle H'}$, on sait que l'on peut munir le complémentaire ${\displaystyle E'}$ de l'hyperplan ${\displaystyle H}$ d'une structure d'espace affine : les droites qui sont sécantes en un point de ${\displaystyle H}$ dans ${\displaystyle E}$ deviennent parallèles dans ${\displaystyle E'}$ et celles qui sont parallèles dans ${\displaystyle E}$ deviennent sécantes en un point de ${\displaystyle H'}$.

À toute transvection d'hyperplan ${\displaystyle H}$ de ${\displaystyle E}$ est alors associée une application affine de ${\displaystyle E'}$ qui n'est autre qu'une translation.

Si maintenant on envoie un autre hyperplan que ${\displaystyle H}$ et ${\displaystyle H'}$ à l'infini, la transvection devient une homologie spéciale ou élation.

En résumé, il y a, en géométrie projective, identité entre les translations, les transvections, et les homologies spéciales^[14],[9].

• 
  Une transvection devient...
• 
  ...une translation si sa base ${\displaystyle H}$ est envoyée à l'infini.
• 
  Si inversement le point à l'infini de la direction ${\displaystyle {\overrightarrow {D}}}$ est ramené à distance finie, on obtient une élation.

On plonge l'espace euclidien ${\displaystyle E_{n}\,}$de dimension ${\displaystyle n}$ comme hyperplan d'un espace ${\displaystyle E_{n+1}}$ de dimension ${\displaystyle n+1}$ et on fait tourner ${\displaystyle E_{n}\,}$ autour d'un hyperplan ${\displaystyle H\,}$(qui est de dimension ${\displaystyle n+1-2}$), de façon à en obtenir une copie ${\displaystyle {\tilde {E}}_{n}\,}$.

Tout point ${\displaystyle M\,}$ de ${\displaystyle E_{n}\,}$ a une copie ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ dans ${\displaystyle {\tilde {E}}_{n}\,}$, donc aussi l'image ${\displaystyle M'\,}$ de ${\displaystyle M\,}$ par une transvection de base ${\displaystyle H\,}$.

On montre que la droite ${\displaystyle (M{\tilde {M}}')}$ garde une direction fixe ${\displaystyle {\overrightarrow {D}}}$, ce qui montre que ${\displaystyle {\tilde {M}}'}$ s'obtient par projection de ${\displaystyle M\,}$ dans E_n+1 (projection de base ${\displaystyle {\tilde {E}}_{n}}$ et de direction ${\displaystyle {\overrightarrow {D}}}$)^[15]. Connaissant ${\displaystyle {\tilde {M}}'}$, on en déduit ${\displaystyle M'\,}$par rotation.