Uplet

• Pour ${\displaystyle n>0}$, si nous notons ${\displaystyle a_{1}}$ le premier élément, ${\displaystyle a_{2}}$ le deuxième élément, …, ${\displaystyle a_{n}}$ le n-ième élément, le n-uplet s'écrit : ${\displaystyle (a_{1},a_{2}\dots ,a_{n})}$.
• Le 0-uplet s'écrit ${\displaystyle ()}$.
• Un n-uplet ne peut être égal à un p-uplet qu'à la condition que n et p soient égaux.
• L'égalité des n-uplets se définit par

${\displaystyle (a_{1},a_{2}\dots ,a_{n})=(b_{1},b_{2}\dots ,b_{n})}$ si et seulement si ${\displaystyle a_{1}=b_{1}}$ et ${\displaystyle a_{2}=b_{2}}$ … et ${\displaystyle a_{n}=b_{n}}$.

En résumé, un n-uplet dont les composantes sont dans un ensemble E est un élément du produit cartésien ${\displaystyle E^{n}}$.

• Si E est fini, l'ensemble ${\displaystyle E^{n}}$ des n-uplets dont les composantes sont dans E est fini. L'ensemble ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }E^{n}}$des uplets dont les composantes sont dans E est dénombrable.

• un 2-uplet est appelé couple (ou doublet) ;
• un 3-uplet est appelé triplet^[3] ;
• un 4-uplet est appelé quadruplet ;
• un 5-uplet est appelé quintuplet ;
• un 6-uplet est appelé sextuplet ;
• etc^[4].

• (1, 2) ≠ (2, 1).
• (♠ , ♥) ≠ (♥, ♠).
• Si le premier élément et le deuxième sont 1, si le troisième est 5 et si le quatrième est 20, alors le quadruplet formé par ces éléments s'écrit (1, 1, 5, 20).
• Si le premier élément est ♥, le deuxième et le quatrième sont ♣ et le troisième est ♦, alors le quadruplet formé par ces éléments s'écrit : (♥, ♣, ♦, ♣).
• La n-ième puissance cartésienne ${\displaystyle E^{n}}$ d'un ensemble ${\displaystyle E}$ est l'ensemble des n-uplets d'éléments de ${\displaystyle E}$.
• Plus généralement, le produit cartésien ${\displaystyle E_{1}\times \dots \times E_{n}}$ de ${\displaystyle n}$ ensembles ${\displaystyle E_{1},\dots ,E_{n}}$ est l'ensemble des n-uplets ${\displaystyle (a_{1},a_{2}\dots ,a_{n})}$ où ${\displaystyle a_{1}}$ appartient à ${\displaystyle E_{1}}$, …, ${\displaystyle a_{n}}$ appartient à ${\displaystyle E_{n}}$.
• De manière générale, les coordonnées sont des n-uplets. En particulier, les points de l'espace vectoriel ordinaire sont représentés par des triplets de nombres réels.
• Les nombres complexes peuvent se construire à partir de couples de nombres réels.
• Un quaternion peut être représenté par un quadruplet de nombres réels.
• En théorie des nombres, les mathématiciens s'intéressent notamment aux triplets, quadruplets, quintuplets, sextuplets, etc. de nombres premiers.
• En informatique, les objets d'un type de données enregistrement sont des n-uplets.
• Un n-uplet constitue les paramètres d'une fonction informatique ou les arguments d'une fonction mathématique à n variables.

D'après la définition par récurrence du produit cartésien de n ensembles, un n-uplet peut être défini à partir de la notion de couple, qui elle-même peut se définir en termes d'ensembles :

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})=((\dots ((a_{1},a_{2}),a_{3}),\dots ,a_{n-1}),a_{n})}$.

(c'est-à-dire qu'un (n + 1)-uplet est un couple dont la première composante est un n-uplet). Autrement dit :

1. ∅ est un 0-uplet
2. si ${\displaystyle x=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$ est un n-uplet, alors ${\displaystyle (x,a_{n+1})}$ est un (n+1)-uplet, et ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},a_{n+1})=(x,a_{n+1})}$.

La propriété caractéristique des n-uplets (la définition de l'égalité) se démontre immédiatement par récurrence à partir de celle des couples.

On a choisi pour définir un n+1-uplet d'ajouter un élément « à la fin » d'un n-uplet : c'est arbitraire, et il est possible de commencer par le début, c'est-à-dire de définir un n+1-uplet comme un couple dont la seconde composante est un n-uplet. Ceci conduit à une définition différente mais qui a les mêmes propriétés.

Il est enfin possible de définir un n-uplet comme une suite finie, c'est-à-dire une application définie sur un ensemble fini, ${\displaystyle \{0,\dots ,n-1\}}$ ou ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$.