自乗

整冪一般の性質

• 自乗は自然数、整数、実数、複素数に対し閉じている。つまり、自然数の自乗は自然数、……（以下同様）である。
• 積・商の自乗は自乗の積・商である。

  ${\displaystyle (xy)^{2}=x^{2}y^{2}\,}$

  ${\displaystyle \left({\frac {x}{y}}\right)^{2}={\frac {x^{2}}{y^{2}}}}$

• 指数関数の自乗は元の数の2倍の指数関数である。正の実数の自乗の対数は対数の2倍である。

  ${\displaystyle (a^{x})^{2}=a^{2x}\,}$

  ${\displaystyle \log x^{2}=2\log x\,}$

• 和の自乗は、二項係数を係数に持つ多項式で表される。

  ${\displaystyle (x+y)^{2}=\sum _{k=0}^{2}{2 \choose k}x^{k}y^{2-k}=x^{2}+2xy+y^{2}\,}$

• 複素数の自乗は、絶対値も自乗になり、偏角は2倍になる。

  ${\displaystyle |z^{2}|=|z|^{2},\quad \arg z^{2}=2\arg z}$

  導出: ${\displaystyle \left\{a(\cos \theta +i\sin \theta )\right\}^{2}=\left(ae^{i\theta }\right)^{2}=a^{2}e^{i\cdot 2\theta }=a^{2}(\cos 2\theta +i\sin 2\theta )\,}$

• 0のみが自乗して0となる。

  ${\displaystyle x^{2}=0\Leftrightarrow x=0}$

自乗に特有の性質

• 反数の自乗は元の数の自乗に等しい。つまり、関数としての自乗（二次関数）は偶関数である。

  ${\displaystyle (-x)^{2}=x^{2}\,}$

• 実数の自乗は非負の実数である。また、0 のみが自乗が 0 となるので、0以外の実数の自乗は正の実数である。

  ${\displaystyle x^{2}\geq 0}$（等号は ${\displaystyle x=0\,}$ の場合のみ）

• 平方根の定義より、平方根の自乗は元の数である。ただし、自乗の平方根は（非 0 の平方根は 2 つあるため）元の数とは限らない。

  ${\displaystyle \left({\sqrt {x}}\right)^{2}=x}$

• 単位関数を積分すると自乗の半分となる。

  ${\displaystyle \int xdx={\frac {x^{2}}{2}}}$

自然数の自乗の性質

自然数の自乗は平方数と呼ばれる。