五乗数
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自然数の５乗
自然数の5乗を小さい順に列記すると、次のようになる。
- 0, 1, 32, 243, 1024, 3125, 7776, 16807, 32768, 59049, 100000, 161051, 248832, 371293, 537824, 759375, 1048576, 1419857, 1889568, 2476099, 3200000, 4084101, 5153632, 6436343, 7962624, 9765625, ... （オンライン整数列大辞典の数列 A000584）
性質
10を底とする整数 n の5乗の最小の桁の値は、n の最小の桁の値と同じである。
また、n が奇数のとき、n⁵ - n は240で割り切れることが知られている。
五乗数の列の第4階差数列は公差 120 の等差数列であり、第5階差数列は定数列 120である。したがって五乗数の列は5階等差数列である。
アーベル–ルフィニの定理によれば、未知数の5乗を最大の冪乗とする代数方程式の解に対する一般的な代数式（冪根で表される式）は存在しない。5乗は、これが当てはまる最低の冪指数である。
5乗は、k − 1 個の k 乗数の和を1個の k 乗数で表すことができる冪指数 k のうちの1つで（もう1つは4乗）、オイラー予想に反例を与える。
具体的には、以下の例がある。
- 275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445 (Lander & Parkin, 1966)[1]