ADM形式

ラグランジアン形式

ADM形式の出発点は ラグランジアン密度、

${\displaystyle {\mathcal {L}}={^{(4)}R}{\sqrt {-^{(4)}g}},}$

これは完全な時空に対する4次元計量テンソルの行列式の平方根の積とリッチスカラーの積である。これはアインシュタイン・ヒルベルト作用からのラグランジアンである。 導出の望ましい結果は四次元時空内の3次元空間スライスの埋め込みを定義する 。3次元スライスの計量は、

${\displaystyle g_{ij}={^{(4)}}g_{ij}}$

これはハミルトン形式の一般化座標系となる。 正準運動量は次のように計算できる。

${\displaystyle \pi ^{ij}={\sqrt {-^{(4)}g}}\left({^{(4)}}\Gamma _{pq}^{0}-g_{pq}{^{(4)}}\Gamma _{rs}^{0}g^{rs}\right)g^{ip}g^{jq},}$

標準的なテクニックと定義を使用する。記号${\displaystyle {^{(4)}}\Gamma _{ij}^{0}}$ は完全な4次元時空の計量に関連付けられたクリストッフェル記号である。減衰は、

${\displaystyle N=\left(-{^{(4)}g^{00}}\right)^{-1/2}}$

そしてシフトベクトルは、

${\displaystyle N_{i}={^{(4)}g_{0i}}}$

これらは四次元計量テンソルの残りの要素である。 定式化に必要な量を導き出したら、次の目標はこれらの変数を用いてラグランジアンを書き直すことができる。ラグランジアンの新しい表現は

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-g_{ij}\partial _{t}\pi ^{ij}-NH-N_{i}P^{i}-2\partial _{i}\left(\pi ^{ij}N_{j}-{\frac {1}{2}}\pi N^{i}+\nabla ^{i}N{\sqrt {g}}\right)}$

は、２つの新しい変数で表すと便利である。

${\displaystyle H=-{\sqrt {g}}\left[^{(3)}R+g^{-1}\left({\frac {1}{2}}\pi ^{2}-\pi ^{ij}\pi _{ij}\right)\right]}$

そして、

${\displaystyle P^{i}=-2\pi ^{ij}{}_{;j},}$

これらはハミルトン拘束と運動量拘束として知られる。減衰関数とシフトベクトルはラグランジアンではラグランジュ乗数として現れる。

運動方程式

ラグランジアンの変数は4次元時空に埋め込まれた3次元空間上の計量テンソルを表すが、ラグランジュ力学の通常の手順を用いて計量${\displaystyle g_{ij}}$ と正準運動量${\displaystyle \pi ^{ij}}$の両方の時間発展を記述する「運動方程式」を導くことは可能であり、また望ましい。結果、

${\displaystyle \partial _{t}g_{ij}={\frac {2N}{\sqrt {g}}}\left(\pi _{ij}-{\tfrac {1}{2}}\pi g_{ij}\right)+N_{i;j}+N_{j;i}}$

そして、

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}\pi ^{ij}=&-N{\sqrt {g}}\left(R^{ij}-{\tfrac {1}{2}}Rg^{ij}\right)+{\frac {N}{2{\sqrt {g}}}}g^{ij}\left(\pi ^{mn}\pi _{mn}-{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\right)-{\frac {2N}{\sqrt {g}}}\left(\pi ^{in}{\pi _{n}}^{j}-{\tfrac {1}{2}}\pi \pi ^{ij}\right)\\&+{\sqrt {g}}\left(\nabla ^{i}\nabla ^{j}N-g^{ij}\nabla ^{n}\nabla _{n}N\right)+\nabla _{n}\left(\pi ^{ij}N^{n}\right)-{N^{i}}_{;n}\pi ^{nj}-{N^{j}}_{;n}\pi ^{ni}\end{aligned}}}$

これは 偏微分方程式の非線形の集合である。 減衰関数とシフトベクトルに関して変化をとることで、拘束方程式を与える。

${\displaystyle H=0}$

そして、

${\displaystyle P^{i}=0,}$

そして減衰関数とシフトベクトル自体は任意であり、 座標系は空間と時間の両方で任意に指定できるという事実を反映している。

量子重力への応用

ADM形式を使用すると、 量子力学における特定のハミルトニアンに対応するシュレディンガー方程式を構築するのと同じ方法で量子重力理論 を構築しようとここ見ることができる。すなわち、 正準運動量 ${\displaystyle \pi ^{ij}(t,x^{k})}$ と空間計量関数を線形関数微分演算子に置き換える、

${\displaystyle {\hat {g}}_{ij}(t,x^{k})\mapsto g_{ij}(t,x^{k}),}$

${\displaystyle {\hat {\pi }}^{ij}(t,x^{k})\mapsto -i{\frac {\delta }{\delta g_{ij}(t,x^{k})}}.}$

より厳密に言えば、 古典的な変数を演算子に置き換えることは交換関係により制限される。ハットは量子力学における演算子を表す。これはホイーラー・ドウィット方程式に関連している。

アインシュタイン方程式の数値解への応用

アインシュタイン方程式に対する厳密解は比較的少ないことが知られている。他の解決策を見つけるために、 数値相対性理論という活発な分野があり、 スパコンを使って方程式のおおよその解を求めている。 このような解を数値的に構築するために、多くの論文は アインシュタイン方程式の定式化は ADM 定式化と密接に関連していることを出発点としている。 最も一般的なアプローチはADM形式に基づいた初期値問題を出発点としている。

ハミルトニアン形式では、基本的なポイントは2次方程式の集合を別の一次方程式に置き換えることが可能である。 私たちはハミルトニアン形式の簡単な方法により、この2次方程式の集合を得ることができる。もちろん、これは数値物理学において非常に便利であり、なぜならコンピュータ用の方程式を準備したい場合、 微分方程式の階数を小さくすることはしばしば便利だからである。