偏微分方程式

18世紀：起源と弦の振動

偏微分方程式の研究は、1740年代にニュートン力学を連続体へと拡張する過程で本格化した。中心となったのは「弦の振動」の問題である。ジャン・ル・ロン・ダランベールは1747年に一次元波動方程式を見出し、その一般解（ダランベールの解）を示した。直後にレオンハルト・オイラーやダニエル・ベルヌーイもこの問題に取り組み、解の表現（進行波による表現か、三角関数の重ね合わせか）を巡って論争が起きた。この論争は、当時の「関数」の定義（滑らかな曲線のみを指すのか、角を持つ折れ線も許容するのか）を再考させる契機となった。

また、流体力学や重力ポテンシャルの研究において、ピエール＝シモン・ラプラスはラプラス方程式を定式化し、これが楕円型偏微分方程式の原型となった。ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュらは一階偏微分方程式の一般論を整備した。

19世紀：熱伝導とフーリエ解析

19世紀に入ると、ジョゼフ・フーリエによる熱伝導方程式の研究（1822年）が大きな転換点をもたらした。フーリエは、任意の関数を三角関数の級数（フーリエ級数）で表現できると主張し、これにより偏微分方程式を変数分離法で解く道が開かれた。これは同時に、不連続な関数を含む広範な対象を扱うための厳密な解析学（イプシロン-デルタ論法など）の整備を、ベルンハルト・リーマンやカール・ワイエルシュトラスらに促すこととなった。

19世紀後半には、オーギュスタン＝ルイ・コーシーとソフィア・コワレフスカヤによって解の局所的な存在定理（コーシー＝コワレフスカヤの定理）が証明されたほか、ジョージ・グリーン、ガウス、ディリクレらによって、境界値問題（ポテンシャル論）の手法が飛躍的に発展した。

20世紀：現代理論の確立

20世紀初頭、ダフィット・ヒルベルトはヒルベルトの23の問題において、偏微分方程式の解の滑らかさや存在条件を主要な未解決問題として挙げた。これに応える形で、偏微分方程式論は「解を見つける」ことから「関数空間の構造を調べる」方向へと大きくシフトした。

古典的な微分が定義できないような現象（衝撃波など）や、不連続な境界値を持つ問題を扱うために、解の概念そのものを拡張する必要が生じた。1930年代以降、セルゲイ・ソボレフによるソボレフ空間の導入や、ローラン・シュヴァルツによる超関数（ディストリビューション）の理論により、「弱解」という概念が確立された。これにより、偏微分方程式は関数解析学の枠組みで統一的に扱われるようになり、現代の線形および非線形偏微分方程式（英語版）の理論的基礎が完成した。

線形および非線形方程式

PDEは、未知数とその微分に関して線形である場合、線形と呼ばれる。例えば、x と y の関数 u に対して、二階線形PDEは以下の形式をとる。 $${\displaystyle a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+a_{5}(x,y)u_{x}+a_{6}(x,y)u_{y}+a_{7}(x,y)u=f(x,y)}$$ ここで a_i と f は独立変数 x と y のみの関数である。（多くの場合、混合偏微分 u_xy と u_yx は等置されるが、これは線形性の議論には必須ではない。） もし a_i が定数（x と y に依存しない）であれば、そのPDEは定数係数線形と呼ばれる。もし f がどこでもゼロであれば、その線形PDEは斉次であり、そうでなければ非斉次である。（これは、PDEの解に対する高周波振動の影響を研究する漸近的均質化（英語版）とは別のものである。）

線形PDEに最も近いのが半線形 (semi-linear) PDEであり、最高階微分のみが線形項として現れ、その係数は独立変数の関数である。低階の微分と未知関数は任意に現れてよい。例えば、2変数の一般的な二階半線形PDEは以下のようになる。 $${\displaystyle a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0}$$

準線形 (quasilinear) PDEでは、同様に最高階微分は線形項としてのみ現れるが、係数は未知数および低階微分の関数であってもよい。 $${\displaystyle a_{1}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xx}+a_{2}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xy}+a_{3}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yx}+a_{4}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0}$$ 物理学における基本的なPDEの多くは準線形である。例えば、一般相対性理論のアインシュタイン方程式や、流体運動を記述するナビエ–ストークス方程式などが挙げられる。

線形性の性質を持たないPDEは完全非線形 (fully nonlinear) と呼ばれ、最高階微分の1つ以上に非線形性を持つ。例として、微分幾何学で現れるモンジュ＝アンペール方程式（英語版）がある^[5]。

一般に非線形な偏微分方程式として重要なものに、

• 流体を記述するナビエ-ストークス方程式^[6]
• 一般相対性理論におけるアインシュタインの場の方程式
• 非線形波動を記述するKdV方程式^[7]・mKdV方程式 (これらの方程式は可積分系でも研究されている)
• クレローの方程式
• 非線形シュレディンガー方程式^[7][8][9]

などがある。

二階方程式

u_xy = u_yx を仮定すると、2つの独立変数を持つ一般的な線形二階偏微分方程式は以下の形式を持つ。

$${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+\cdots =0,}$$ ここで係数 A, B, C... は x と y に依存してもよい。xy 平面のある領域上で A² + B² + C² > 0 であれば、PDEはその領域で二階である。この形式は円錐曲線の式に類似している。 $${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.}$$

より正確には、∂_x を X に置き換え、他の変数についても同様にすることで（形式的にはフーリエ変換によって行われる）、定数係数PDEを同次数の多項式に変換でき、最高次数の項（斉次多項式、ここでは二次形式）が分類にとって最も重要となる。

円錐曲線と二次形式を判別式 B² − 4AC に基づいて放物型、双曲型、楕円型に分類するのと同様に、与えられた点における二階PDEについても同じことができる。ただし、PDEの判別式は、xy の項が B ではなく 2B という慣例のため、B² − AC で与えられる。形式的には、（関連する二次形式の）判別式は (2B)² − 4AC = 4(B² − AC) であるが、単純化のために係数4は落とされる。

1. B² − AC < 0 (楕円型偏微分方程式): 楕円型PDEの解は、方程式と解が定義されている領域の内部において、係数が許す限り滑らかである。代表的な例としてラプラス方程式がある。例えば、ラプラス方程式の解は定義されている領域内で解析的であるが、境界値は滑らかでない場合がある。物理的な例として、定常な亜音速流の支配方程式は楕円型となる。例えば、オイラー＝トリコミ方程式（英語版）（${\displaystyle u_{xx}=xu_{yy}}$）は、x < 0 の領域において楕円型である。定数係数の楕円型方程式の場合、適切な変数変換により、方程式を次の標準形で表現できる：$${\displaystyle u_{xx}+u_{yy}+\cdots =0,}$$ ここで x と y は変換後の変数に対応する。これは、ラプラス方程式がこのタイプの例であることを裏付けている^[10]。

1. B² − AC = 0 (放物型偏微分方程式): すべての点で放物型である方程式は、独立変数の変換によって熱方程式に類似した形式に変換できる。解は変換された時間変数の増加とともに滑らかになる。オイラー＝トリコミ方程式は x = 0 の直線上で放物型である。定数係数の放物型方程式の場合、適切な変数変換により、方程式を次の標準形で表現できる：$${\displaystyle u_{t}-u_{xx}+\cdots =0,}$$ ここで t は時間変数、x は空間変数に対応する。これは熱方程式がこのタイプの例であることを示している^[10]。

1. B² − AC > 0 (双曲型偏微分方程式): 双曲型方程式は、初期データにおける関数や微分の不連続性を保持する。例として波動方程式がある。超音速での流体の運動は双曲型PDEで近似でき、オイラー＝トリコミ方程式は x > 0 において双曲型である。変数変換により、方程式は常に次の形式で表現できる：$${\displaystyle u_{xx}-u_{yy}+\cdots =0,}$$ ここで x と y は変換後の変数に対応する。これは、波動方程式がこのタイプの例であることを正当化する^[10]。

n 個の独立変数 x₁, x₂ , …, x_n がある場合、一般的な二階線形偏微分方程式は以下の形式を持つ。 $${\displaystyle Lu=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+cu=0.}$$

分類は係数行列 a_i,j の固有値の符号（シグネチャ）に依存する。

1. 楕円型: 固有値がすべて正、またはすべて負。
2. 放物型: 固有値がすべて正、またはすべて負だが、1つだけゼロがある。
3. 双曲型: 負の固有値が1つだけで残りがすべて正、または正の固有値が1つだけで残りがすべて負。
4. 超双曲型 (Ultrahyperbolic): 正の固有値が複数かつ負の固有値が複数あり、ゼロ固有値がない^[11]。

楕円型、放物型、双曲型方程式の理論は、主にラプラス方程式、熱方程式、波動方程式という標準的な例を中心に、あるいはそれらに基づいて、何世紀にもわたって研究されてきた。

二階偏微分方程式の楕円型・放物型・双曲型の分類は、PDEの理論と応用において極めて重要である。この分類は、解の定性的な性質、適切な初期条件および境界条件の設定、数値解法の選択、そして解の滑らかさや伝播特性に関する指針を与える。楕円型方程式は通常境界値問題として定式化され、放物型および双曲型方程式は初期値問題または初期境界値問題として扱われる。また、この分類は解の情報伝播の仕方とも密接に関連しており、双曲型では有限速度での伝播、放物型では無限速度での伝播、楕円型では瞬時の影響が特徴的である。

しかし、この分類は二階項の線形性にのみ依存するため、半線形および準線形PDEにも適用可能である。基本的なタイプは、領域によって楕円型から双曲型に変化するオイラー＝トリコミ方程式（英語版）のような混合型や、高階PDEにも拡張される。

これらの方程式の型は、適切な問題設定（境界条件や初期条件）と密接に関係している。一般に、楕円型方程式は境界値問題として定式化され、領域の境界上で未知関数や微分に関する条件を与えることで領域内部の解が一意に定まることが多い。一方、放物型および双曲型方程式は、時間発展を記述するため、初期値問題または初期境界値問題として扱われるのが通常である。

一階方程式系と特性曲面

偏微分方程式の分類は一階方程式系にも拡張できる。ここで未知数 u は m 個の成分を持つベクトルであり、係数行列 A_ν は ν = 1, 2, …, n に対して m × m 行列である。偏微分方程式は以下の形式をとる。 $${\displaystyle Lu=\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial u}{\partial x_{\nu }}}+B=0,}$$ ここで係数行列 A_ν とベクトル B は x と u に依存してもよい。もし超曲面 S が陰関数形式 $${\displaystyle \varphi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,}$$ で与えられ、φ が非ゼロの勾配を持つとき、特性形式 (characteristic form) が消えるならば、S は与えられた点における作用素 L の特性曲面 (characteristic surface) である。 $${\displaystyle Q\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\right)=\det \left[\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\nu }}}\right]=0.}$$

この条件の幾何学的解釈は以下の通りである。S 上で u のデータが規定されている場合、微分方程式から S 上の u の法線微分を決定できる可能性がある。もし S 上のデータと微分方程式が S 上の u の法線微分を決定する場合、S は非特性的である。もし S 上のデータと微分方程式が S 上の u の法線微分を決定しない場合、その曲面は特性的であり、微分方程式は S 上のデータを制限する。すなわち、微分方程式は S に「内在的」である。

1. 一階方程式系 Lu = 0 は、L に対して特性的な曲面が存在しない場合、楕円型である。S 上の u の値と微分方程式は、常に S 上の u の法線微分を決定する。

1. 一階方程式系は、ある点において法線 ξ を持つ空間的 (spacelike) 曲面 S が存在する場合、その点で双曲型である。これは、ξ に直交する任意の非自明なベクトル η とスカラー乗数 λ に対して、方程式 Q(λξ + η) = 0 が m 個の実根 λ₁, λ₂, …, λ_m を持つことを意味する。これらの根が常に異なる場合、システムは狭義双曲型である。この条件は幾何学的には以下のように解釈される。特性形式 Q(ζ) = 0 は、ζ 空間において原点を頂点とする錐体（法線錐）を定義する。双曲型の場合、この法線錐は実数領域に非自明な解を持ち、時間的な方向軸はこの錐体の内側を通る。一方、楕円型の場合、特性形式 Q(ζ) = 0 を満たす実ベクトル ζ ≠ 0 は存在せず（法線錐が一点に縮退する、あるいは虚の方向にしか存在しない）、したがって実特性曲面を持たない。

初期条件

時間発展を含む問題（放物型や双曲型）において、解析を開始する時刻（通常は t = 0）における未知関数の状態を指定する条件。

境界条件

解析領域の境界における振る舞いを規定する条件であり、主に以下の3種類がある。

• ディリクレ境界条件：境界上での未知関数の値を直接指定する（例：境界の温度を固定する）。
• ノイマン境界条件：境界上での法線方向の微分値を指定する（例：境界を通る熱流束や流体の流入量を指定する）。
• ロビン境界条件：未知関数とその微分の線形結合を指定する（例：境界での熱伝達・対流を考慮する）。

良設定性

良設定性 (well-posedness) とは、アダマールによって提唱された、偏微分方程式の問題設定が物理的・数学的に適切であることを示す概念である。問題が良設定であるためには、以下の条件を満たす必要がある。

1. 解の存在性：与えられたデータ（初期条件や境界条件）に対し、少なくとも一つの解が存在する。
2. 解の一意性：解が存在する場合、それはただ一つである。
3. 解の連続依存性（安定性）：入力データを連続的に変化させたとき、対応する解も連続的に変化する。

偏微分方程式においてこれらの条件を確認することは、常微分方程式 (ODE) よりもはるかに困難かつ重要である。ODEの一般解が有限個の任意定数（パラメータ）を含むのに対し、PDEの一般解は任意関数を含むためである。

例えば、2変数関数 ${\displaystyle v(x,y)}$ に対する単純な方程式 ${\displaystyle v_{xy}=0}$ の一般解は、任意の1変数関数 ${\displaystyle f,g}$ を用いて ${\displaystyle v(x,y)=f(x)+g(y)}$ と表される。このように無数の解が存在するため、特定の解を定めるには定義域全体を含めた適切な条件設定が不可欠である。

方程式の型によって、解の一意性を保証するために必要な条件は異なる。以下にその著しい対比を示す。

• 楕円型（ラプラス方程式）: 単位円盤 ${\displaystyle B}$ 上の問題 ${\displaystyle u_{xx}+u_{yy}=0}$ では、境界である単位円周上で未知関数 ${\displaystyle u}$ の値を与える（ディリクレ問題）ことで、内部の解がただ一つに定まる。
• 双曲型（波動方程式の類似）: 領域 ${\displaystyle \mathbb {R} \times (-1,1)}$ 上の問題 ${\displaystyle u_{xx}-u_{yy}=0}$ では、ある時刻（例えば ${\displaystyle y=0}$）における関数値とその微分値（初期条件）を与えることで解が一意に定まる。

さらに、非線形方程式ではより複雑な現象が起こりうる。例えば、微分幾何学に由来するベルンシュタインの問題（英語版）（極小曲面方程式）は、 $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {u_{x}}{\sqrt {1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {u_{y}}{\sqrt {1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}}=0}$$ という非線形方程式であるが、全平面 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ で定義された解は、${\displaystyle u(x,y)=ax+by+c}$ という1次式に限られる（ベルンシュタインの定理）。これは、任意関数を含む一般解を持つ線形方程式とは対照的な性質である。

弱解

弱解 (weak solution) は、PDEを満たすが、通常の古典的な意味（すべての微分が通常の意味で存在し連続である）とは異なる意味で満たす関数のことである。弱解の概念は、古典解が存在しない場合や、不連続性を持つ解を扱う際に特に重要となる。この用語の意味は文脈によって異なる場合があるが、最も一般的に使用される定義の一つは、超関数 (distribution) の概念とソボレフ空間に基づいている。ソボレフ空間とは、関数とその弱微分が可積分であることを要求する関数空間であり、弱解の理論において中心的な役割を果たす。

弱解の定義の例^[12]は以下の通りである。

次で与えられる境界値問題を考える。 $${\displaystyle {\begin{aligned}Lu&=f\quad {\text{in }}U,\\u&=0\quad {\text{on }}\partial U,\end{aligned}}}$$ ここで $${\displaystyle Lu=-\sum _{i,j}\partial _{j}(a^{ij}\partial _{i}u)+\sum _{i}b^{i}\partial _{i}u+cu}$$ は発散形式の二階偏微分作用素を表す。

${\displaystyle u\in H_{0}^{1}(U)}$ が弱解であるとは、 すべての ${\displaystyle v\in H_{0}^{1}(U)}$ に対して $${\displaystyle \int _{U}{\bigg [}\sum _{i,j}a^{ij}(\partial _{i}u)(\partial _{j}v)+\sum _{i}b^{i}(\partial _{i}u)v+cuv{\bigg ]}dx=\int _{U}fvdx}$$ が成り立つことである。これは形式的な部分積分によって導出できる。

弱解の例は以下の通りである。 $${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {1}{|x|}}}$$ は、 $${\displaystyle -\nabla ^{2}\phi =\delta {\text{ in }}\mathbb {R} ^{3}}$$ を超関数の意味で満たす弱解である。

なぜなら、形式的に ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{3}}(-\nabla ^{2}\phi (x))\psi (x)dx=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\phi (x)(-\nabla ^{2}\psi (x))dx=\psi (0){\text{ for }}\psi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{3})}$ となるからである。

ここで ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(R^{3})}$ は、コンパクトな台を持つ滑らかな関数の空間（テスト関数空間）を表す。

正則性

正則性 (regularity) は、弱解の可積分性と微分可能性を指し、多くの場合ソボレフ空間によって表現できる。

この問題は、古典解を探すのが難しいために生じる。研究者は、最初は弱解を見つけ、その後、それが古典解としての資格を得るのに十分滑らかであるかどうかを確認する傾向がある。

この研究分野では、関数解析学の結果が頻繁に使用される。

定性理論における重要概念

偏微分方程式の解の振る舞いを調べる上で、以下の概念が重要である。

• 最大値原理：楕円型や放物型方程式の解が、領域の内部で最大値（または最小値）を取らず、必ず境界上で取るという性質。解の一意性や安定性の証明に用いられる。
• エネルギー法：解の「エネルギー」（通常はL2ノルムなど）の物理的な保存則や減衰を数学的に定式化する手法。双曲型方程式の解の評価などに多用される。

楕円型偏微分方程式

双曲型偏微分方程式

放物型偏微分方程式

その他の重要な方程式

主要な方程式と応用分野のまとめ

以下の表に、代表的な偏微分方程式とその主な適用分野を示す。

解析的手法

線型偏微分方程式は、解を基底関数系の線型結合として表す手法がよく用いられる（たとえば正弦波関数を使ったフーリエ級数展開など^[27]）。

数値的解法

偏微分方程式の数値解法としては、有限要素法 (FEM)、有限体積法 (FVM)、有限差分法 (FDM) の3つが代表的である。各手法は問題の性質に応じて使い分けられる。例えば、有限要素法は複雑な境界形状を持つ構造解析などに強みを持ち、有限体積法は保存則が重要な流体解析（CFD）の分野で広く普及している。近年では、これらの手法の弱点を補うためにメッシュフリー法などの研究も進められている。

関連分野

• 関数解析学
• 偏微分方程式の数値解法 (en)

研究者