Q-類似

q-数

最も基本的な q-数 [n]_q （q-整数やq-ブラケット（英: q-bracket）とも呼ばれる）とは、自然数 n の q-類似であって、q → 1 の極限で [n]_q → n となるように

${\displaystyle [n]_{q}:={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=\sum _{k=0}^{n-1}q^{k}}$

と定義される^[2]。ただし、文献によっては、とくに量子群の文脈では、${\displaystyle q\mapsto q^{-1}}$ で不変な

${\displaystyle [n]_{q}:={\frac {q^{n}-q^{-n}}{q-q^{-1}}}}$

あるいは

${\displaystyle [n]_{q}:={\frac {q^{n/2}-q^{-n/2}}{q^{1/2}-q^{-1/2}}}}$

と定義される。この記事では最初の定義を用いるが、他の定義でも後述の q-階乗やq-二項係数は q-数を用いて同様に定義される。

q-階乗

またq-階乗 [n]_q! （英: q-factorial）は、q-数によって

${\displaystyle [n]_{q}!:=\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}}$

と定義される^[2]。ただし (q; q)_n はq-ポッホハマー記号を表す。

このとき S_n を n 次の対称群、inv(σ) を置換 σ の転倒数として、

${\displaystyle [n]_{q}!=\sum _{\sigma \in S_{n}}q^{\operatorname {inv} (\sigma )}}$

が成り立つ^[3]。これは ${\displaystyle q\to 1}$ の極限で、通常の階乗 ${\displaystyle n!}$ が ${\displaystyle n}$ 個のものを並べる順列の総数を表すことに対応している。 また有限体 F_q 上の一般線型群 GL(n, q) の位数は

${\displaystyle \vert \operatorname {GL} (n,q)\vert =[n]_{q}!(q-1)^{n}q^{\binom {n}{2}}}$

と表せる。

q-二項係数

q-二項係数（英: q-binomial coefficient）は、二項係数の q-類似で、

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}:={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}={\frac {(q;q)_{n}}{(q;q)_{k}(q;q)_{n-k}}}}$

によって定義される^[2][3]。q が素数のべきのとき、q-二項係数は有限体 F_q 上の n 次元線型空間内における k 次元部分空間の数に等しい^[3]。

より一般に q-多項係数は n = k₁ + … + k_m のとき

${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{m}}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[k_{1}]_{q}!\dotsm [k_{m}]_{q}!}}}$

によって定義される^[3]。 このとき

${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{m}}}_{q}={\binom {n}{k_{1}}}_{q}{\binom {n-k_{1}}{k_{2}}}_{q}\dotsm {\binom {n-k_{1}-\dotsb -k_{m-1}}{k_{m}}}_{q}}$

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\binom {n-1}{k}}_{q}+q^{n-k}{\binom {n-1}{k-1}}_{q}}$

のようなよく知られた等式の類似が成り立つ^[3]。

q-二項定理

q-二項定理は、二項定理のq-類似であり、

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}(1-q^{k-1}x)}$

について、${\displaystyle a=q^{-n}}$とするとき、

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}={\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}}$

によって定義される^[4][5][6]。

これは、後述のq-超幾何級数を用いて、

${\displaystyle _{1}\phi _{0}\left[{\begin{matrix}a\\-\end{matrix}};q,x\right]}$

と表すことができる。　

また、q-二項係数を用いて、

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}_{q}q^{\frac {k(k-1)}{2}}(-x)^{k}}$

と表すこともできる^[5]。

q-ポッホハマー記号

q-ポッホハマー記号（英: q-Pochhammer symbol，q-シフト因子，q-シフト階乗とも呼ばれる^[1]）は、ポッホハマー記号（昇冪）のq-類似であり、q-類似の計算において頻繁に現れ、有限積あるいは無限積を簡略化して表記するために用いられる。

${\displaystyle (a;q)_{\infty }:=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})}$

によって定義され、有限積については、

${\displaystyle (a;q)_{n}:={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}}}$

と定義される^[2]。とくにn > 0のときは、

${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})}$

が成り立つ。

第二引数（基底と呼ばれる）がqのときは、${\displaystyle (a;q)_{n}=(a)_{n}}$と略記され、複数の引数を持つq-ポッホハマー記号は、${\displaystyle (a,b,c;q)_{n}=(a;q)_{n}(b;q)_{n}(c;q)_{n}}$と分解される。

以下のようにq → 1 の極限を求めれば、ポッホハマー記号に一致する^[2]。

${\displaystyle \lim _{q\to 1}{\frac {(q^{a};q)_{n}}{(1-q)^{n}}}=\lim _{q\to 1}{\frac {1-q^{a}}{1-q}}{\frac {1-q^{a+1}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{a+n-1}}{1-q}}}$

${\displaystyle =\lim _{q\to 1}[a]_{q}[a+1]_{q}\cdots [a+n-1]_{q}=a(a+1)\cdots (a+n-1)=(a)_{n}}$

q-微分

q-微分（q-差分とも呼ばれる^[1][7]）は微分の q-類似で、任意の関数 ƒ(x) について q-微分を

${\displaystyle d_{q}(f(x)):=f(qx)-f(x)}$

によって定義する。さらに導関数の q-類似である q-導関数は

${\displaystyle D_{q}(f(x)):={\frac {d_{q}(f(x))}{d_{q}(x)}}={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}}$

によって定義される^[2][7][8]。

q-導関数を求める演算は線形性を持つが、ライプニッツ則はq → 1 の極限のみで成り立つ^[7]。

${\displaystyle D_{q}(f(x)+g(x))=D_{q}(f(x))+D_{q}(g(x))}$

${\displaystyle D_{q}(f(x)g(x))=f(x)D_{q}(g(x))+D_{q}(f(x))g(qx)}$

その他にも、以下のような性質が知られている^[2][7]。

${\displaystyle D_{q}x^{n}=[n]_{q}x^{n-1}}$

${\displaystyle D_{q}^{m}x^{n}={\frac {[n]_{q}!}{[n-m]_{q}!}}x^{n-m}}$

q-積分

q-積分（ジャクソン積分（英語版））は、積分のq-類似であり、不定積分は、

${\displaystyle \int f(x)d_{q}x:=(1-q)\sum _{n=0}^{\infty }f(xq^{n})xq^{n}}$

によって定義され、定積分は、

${\displaystyle \int _{0}^{a}f(x)d_{q}x:=(1-q)a\sum _{n=0}^{\infty }f(aq^{n})q^{n}}$

${\displaystyle \int _{b}^{a}f(x)d_{q}x:=\int _{0}^{a}f(x)d_{q}x-\int _{0}^{b}f(x)d_{q}x}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)d_{q}x:=(1-q)\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(q^{n})q^{n}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)d_{q}x:=(1-q)\sum _{n=-\infty }^{\infty }(f(q^{n})+f(q^{-n}))q^{n}}$

によって定義される^[2]。

q-積分はq-微分の逆演算であり、

${\displaystyle D_{q}\int _{0}^{a}f(x)d_{q}x}$

${\displaystyle ={\frac {1}{(1-q)a}}\left((1-q)a\sum _{n=0}^{\infty }f(aq^{n})q^{n}-(1-q)aq\sum _{n=0}^{\infty }f(aq^{n+1})q^{n}\right)}$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }f(aq^{n})q^{n}-\sum _{n=0}^{\infty }f(aq^{n+1})q^{n+1}}$

${\displaystyle =f(a)}$

となることからも確かめられる^[2]。

q-指数関数

q-指数関数は、指数関数のq-類似であり、

${\displaystyle e_{q}(x):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(1-q)^{n}}{(q;q)_{n}}}}$

によって定義され、次のような同値の定義が用いられることもある^[6]。

${\displaystyle e_{q}(x):={\frac {1}{((1-q)x;q)_{\infty }}}}$

指数関数の導関数が指数関数であるのと同様に、

${\displaystyle D_{q}e_{q}(x)=e_{q}(x)}$

が成り立つ^[6]。

とくに、可換性を持たず、${\displaystyle qab=ba}$を満たすような量子平面上の変数x, yについて、次のような指数法則が成り立つことが知られている^[6]。

${\displaystyle e_{q}(x+y)=e_{q}(x)q_{q}(y)}$

q-対数関数

q-対数関数は、対数関数のq-類似であり、

${\displaystyle \log _{q}(x):=(1-q)(x-1)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+(x-1)q^{n}}}}$

によって定義されるが、これはq-指数関数の逆関数ではなく、これとは異なる定義も複数存在する^[6]。

また、ツァリス統計（英語版）で用いられるq-指数関数およびq-対数関数は、q-類似とは全く異なる点に注意が必要である。

q-三角関数

q-三角関数は、三角関数のq-類似であり、q-指数関数を用いて、

${\displaystyle \sin _{q}(x):={\frac {e_{q}(xi)-e_{q}(-xi)}{2i}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{[2n+1]_{q}!}}}$

${\displaystyle \cos _{q}(x):={\frac {e_{q}(xi)+e_{q}(-xi)}{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{[2n]_{q}!}}}$

によって定義され、通常の三角関数と同様に正接、余接、正割、余割関数のq-類似も定義される^[6]。

また、テータ関数を用いた次の定義も存在する^[6][9]。

${\displaystyle \sin _{q}(x):={\frac {\vartheta _{1}(x,e^{\frac {\pi ^{2}}{\log {q}}})}{\vartheta _{2}({\frac {\pi }{2}},e^{\frac {\pi ^{2}}{\log {q}}})}}}$

${\displaystyle \cos _{q}(x):={\frac {\vartheta _{1}(x,e^{\frac {\pi ^{2}}{\log {q}}})}{\vartheta _{2}(0,e^{\frac {\pi ^{2}}{\log {q}}})}}}$

q-ガンマ関数

q-ガンマ関数は、ガンマ関数のq-類似であり、

${\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}(1-q)^{1-x}}$

によって定義される^[10]。

通常のガンマ関数のように、

${\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)}$

が成り立ち、またxが自然数のとき、

${\displaystyle \Gamma _{q}(x)=[x-1]_{q}!}$

が成り立つ^[10]。

その他にも、以下のような性質が知られている^[10]。

${\displaystyle \Gamma _{q}\left(x+{\frac {2\pi i}{\log {q}}}\right)=(1-q)^{-{\frac {2\pi i}{\log {q}}}}\Gamma _{q}(x)}$

${\displaystyle \Gamma _{q}\left(x+{\frac {\pi i}{\log {q}}}\right)=2{\frac {(1-q)^{-x}}{(1+q)^{1-x}}}\Gamma _{q}\left({\frac {\pi i}{\log {q}}}\right){\frac {\Gamma _{q^{2}}(x)}{\Gamma _{q}(x)}}}$

また、q-ベータ関数は、ベータ関数のq-類似であり、q-ガンマ関数を用いて、

${\displaystyle \mathrm {B} _{q}(x,y):={\frac {\Gamma _{q}(x)\Gamma _{q}(y)}{\Gamma _{q}(x+y)}}}$

と定義される^[10]。

さらに、q-円周率は、円周率のq-類似であり、

${\displaystyle \pi (q):={\sqrt[{4}]{q}}\Gamma _{q^{2}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}$

によって定義される^[6]。

q-ポリガンマ関数

q-ポリガンマ関数は、ポリガンマ関数のq-類似であり、q-ガンマ関数を用いて、

${\displaystyle \psi _{q}^{(m)}(x)={\frac {d^{m+1}}{dx^{m+1}}}\ln {\Gamma _{q}(x)}}$

によって定義され、以下のような性質が成り立つことが知られている^[10]。

${\displaystyle \psi _{q}^{(0)}(x+1)=\psi _{q}(x)-{\frac {q^{x}}{1-q^{x}}}\ln {q}}$

${\displaystyle \psi _{q}^{(m)}\left(x+{\frac {2\pi i}{\log {q}}}\right)=\psi _{q}^{(m)}(x)}$

${\displaystyle \psi _{q}\left(x\pm {\frac {\pi i}{\log {q}}}\right)=\psi _{q^{2}}(x)-\psi _{q}(x)+\log {\frac {1+q}{1-q}}}$

${\displaystyle \psi _{q}^{(m)}\left(x\pm {\frac {\pi i}{\log {q}}}\right)=\psi _{q^{2}}^{(m)}(x)-\psi _{q}^{(m)}(x)}$

また、q-オイラー定数は、オイラー定数のq-類似であり、q-ポリガンマ関数を用いて、

${\displaystyle \gamma ^{(m)}(q):={\frac {(-1)^{m+1}}{m!}}\psi _{q}^{(m)}(1)}$

と定義される。

q-超幾何級数

q-超幾何級数は、超幾何級数のq-類似であり、

${\displaystyle {}_{r}\phi _{s}\left[{\begin{matrix}a_{1},\cdots ,a_{r}\\b_{1},\cdots ,b_{s}\end{matrix}};q;z\right]:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},\cdots ,a_{r};q)_{n}}{(a_{1},\cdots ,a_{r},q;q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{\left({\frac {n}{2}}\right)}\right)^{1+s-r}x^{n}}$

によって定義される^[2]。

とくに、ガウスの超幾何関数のq-類似は、

${\displaystyle {}_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix}};q;z\right]={}_{2}\varphi _{1}(a,b;c;z|q):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(q^{a};q)_{n}(q^{b};q)_{n}}{(q^{c};q)_{n}(q;q)_{n}}}x^{n}}$

によって定義される^[11]。