七乗数

レオナード・E・ディクソンは七乗数についてのウェアリングの問題について研究し、全ての非負整数は高々258個の非負七乗数の和で表され^[2]、47個以上の非負整数が必要なのは有限個しかなく^[3]、負の冪乗も許せば高々12個でよいことを証明した^[4]。

4つの正の七乗数の和で2通りに表せる最小の自然数は2056364173794800^[5]、8つの正の七乗数の和で表せる最小の七乗数は${\displaystyle 102^{7}=12^{7}+35^{7}+53^{7}+58^{7}+64^{7}+83^{7}+85^{7}+90^{7}}$^[6]である。7つの正の七乗数の和で表せる七乗数は${\displaystyle 568^{7}=127^{7}+258^{7}+266^{7}+413^{7}+430^{7}+439^{7}+525^{7}}$^[7]と${\displaystyle 626^{7}=625^{7}+309^{7}+258^{7}+255^{7}+158^{7}+148^{7}+91^{7}}$^[7]しか見つかっていない。これより少ない数の正の七乗数の和で表せる七乗数は、現在4乗と5乗についてしか反証されていないオイラー予想の反例となる。