代数函数体

体 ${\displaystyle k}$ 上の体拡大 ${\displaystyle K/k}$ が代数函数体であるとは、${\displaystyle K}$ が ${\displaystyle k}$ 上有限生成であり、その超越次数が有限であることをいう。とくに ${\displaystyle \operatorname {trdeg} _{k}K=n}$ のとき、${\displaystyle K}$ を ${\displaystyle k}$ 上の ${\displaystyle n}$ 変数の代数函数体という。標準的な事実として、そのような ${\displaystyle K}$ はある超越基底 ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ をとることで ${\displaystyle k(x_{1},\dots ,x_{n})}$ の有限拡大として表せる。^[2][3]

特に重要なのは、超越次数が 1 の1変数代数函数体である。これは代数曲線の理論と深く結び付いており、体論・代数幾何学・数論の交点に位置する。Stacks Project では、体 ${\displaystyle k}$ 上の曲線であることと、その函数体の超越次数が 1 であることの対応が述べられている。^[4]

1変数函数体は、数論における数体の類似物として扱われることが多い。この観点から、有限体上の 1変数代数函数体は数体と並ぶ大域体の代表例である。^[5][6]

代数的閉体上では、既約代数曲線からその有理函数体を考えることができる。逆に、1変数代数函数体から対応する曲線を回復できるため、曲線と1変数函数体は本質的に同じ情報を表す。Stacks Project は、既約曲線の函数体をその有理函数の体として記述している。^[7]

複素数体上では、コンパクトリーマン面の有理型函数体も 1変数代数函数体の例となる。現行日本語版記事でも、コンパクト連結リーマン面と複素数体上の1変数函数体との関係が述べられている。^[要出典]

もっとも基本的な例は、有理函数体

${\displaystyle k(x_{1},\dots ,x_{n})}$

である。これは ${\displaystyle k}$ 上の ${\displaystyle n}$ 変数の代数函数体である。さらに、その有限拡大も代数函数体になる。たとえば

${\displaystyle K=k(x,y),\quad y^{2}=x^{3}-x}$

のように代数関係を満たす元を付け加えて得られる体は、1変数代数函数体の典型例であり、対応する代数曲線の函数体とみなされる。^[8]

有限体上の 1変数代数函数体は、数体と多くの共通した性質を持つため、両者はしばしば統一的に大域体として研究される。現行記事でも、この類比が 19 世紀以降の数論・代数幾何学の重要な視点であることが述べられている。有限体上の函数体は、数体における素イデアルや付値に対応する概念を持ち、類体論やゼータ函数の研究において大きな役割を果たす。^[9][10]

有限体上の代数函数体は、誤り訂正符号や暗号理論と関係する。現行記事でも有限体上の函数体の研究が暗号理論や誤り訂正符号に応用を持つことが述べられている。とくに、代数曲線から構成される符号は代数幾何符号の理論につながる。^[11]