体積積分

体積積分は直交座標系における関数${\displaystyle f(x,y,z)}$を領域${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}$で三重積分することと見なせるから、一般には以下のように表せる。

${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}$

また円筒座標系では、以下のようになる。

${\displaystyle \iiint _{D}f(\rho ,\varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz.}$

球面座標系(ISOの表記法に従い、${\displaystyle \varphi }$を方位角、 ${\displaystyle \theta }$を極角とする。)では以下のようになる。

${\displaystyle \iiint _{D}f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .}$

3変数関数${\displaystyle f(x,y,z)=1}$を単位立方体（英語版）上で積分すると以下のようになる。

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(1-0)\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\left(1-0\right)dz=1-0=1}$

単位立方体の体積が1であるという予想通りの結果が得られる。これは自明な例だが、体積積分ははるかに有用である。例えば、単位立方体の密度分布を表すスカラー密度関数を体積積分することにより、その単位立方体の質量を得ることができる。ここでは以下の密度関数を考える。

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \\f:(x,y,z)\mapsto x+y+z\end{cases}}}$

このような密度関数を持つ単位立方体の質量は以下で得られる。

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(x+y+z)\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{2}}+y+z\right)dy\,dz=\int _{0}^{1}(1+z)\,dz={\frac {3}{2}}}$