円板

直交座標系では、点 (a, b) ∈ R² を中心とする半径 R > 0 の開円板は

${\displaystyle D=D((a,b);R)=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}<R^{2}\}}$

で、同じ中心と半径を持つ閉円板は

${\displaystyle {\overline {D}}={\overline {D}}((a,b);R)=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\leq R^{2}\}}$

で表される。

ユークリッド幾何学における円板は、回転対称である。

半径 R の（開または閉）円板の面積は、πR² である^[1]。

前節で述べたものは、ユークリッド平面 (R², d) の通常の（ユークリッド）距離 d に関する開円板

${\displaystyle D(P;r)=\{Q\in \mathbb {R} ^{2}:d_{2}(P,Q)<r\}}$

と閉円板

${\displaystyle {\overline {D}}(P;r)=\{Q\in \mathbb {R} ^{2}:d_{2}(P,Q)\leq r\}}$

であり、これは R² を任意の距離空間 (X, d) で置き換えてもそのまま通用する。

一般の距離空間における距離に関して円板を考えたものは、一般に球体 (ball) と呼ばれるものを定める（たとえば、三次元ユークリッド空間 (R³, d) における円板は通常の意味における（狭義の）球体である）。即ち、この文脈において「円板」と言う代わりに「球体」を用いても同じ意味になる。

位相空間としての開円板と閉円板は同相でない（後者はコンパクトだが、前者はそうでない）。

しかし、代数的位相幾何学的な観点からは、これらは多くの性質が共通している。例えば両者とも可縮であり、ゆえ一点にホモトピー同値である。

従って、さらに、これらの基本群は自明であり、Z と同型な零次を除いて、全てのホモロジー群が自明である。一点のオイラー標数は 1 であるから、開および閉円板のそれもやはりともに 1 であることがわかる。

閉円板からそれ自身への任意の連続写像（全単射でなくてもよく、また全射であることすら仮定しない）は少なくとも一つの不動点を持つ^[2]。

この主張において閉円板であるというところを「開円板」に置き換えることはできない。

例えば

${\displaystyle f(x,y)=\left({\frac {x+{\sqrt {1-y^{2}}}}{2}},y\right)}$

は、開単位円板上の任意の点をその点の少し右へ写すから、固定される点は存在しない。