分位数

変量統計における分位数

${\displaystyle n}$ 個のデータ ${\displaystyle x}$ に対する q 分位数 ${\displaystyle Q_{q}}$ は、昇順にソートしたデータを ${\displaystyle x_{1}\leq x_{2}\leq \dotsb \leq x_{n}}$ とすると、

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{q}&=x(1-q+qn)\\x(t)&={\begin{cases}x_{t},&{\text{if }}t\in \mathbb {N} \\(\lceil t\rceil -t)x_{\lfloor t\rfloor }+(t-\lfloor t\rfloor )x_{\lceil t\rceil },&{\text{if }}t\notin \mathbb {N} \end{cases}}\end{aligned}}}$

と定義される。ここで、${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ は床関数、${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$ は天井関数、${\displaystyle \mathbb {N} }$ は自然数の集合である。

関数 ${\displaystyle x(t),\ 1\leq t\leq n}$ は、数列 ${\displaystyle x_{1,\dotsc ,n}}$ の線形内挿数関数への拡張である。関数 ${\displaystyle x(\cdot )}$ の引数 ${\displaystyle 1-q+qn}$ は、範囲 ${\displaystyle [1,n]}$ を ${\displaystyle q:1-q}$ に内分している。

確率分布の分位数

1次元確率分布 ${\displaystyle f(x)}$ に対する q 分位数 ${\displaystyle Q_{q}}$ は

${\displaystyle \int _{-\infty }^{Q_{q}}f(x)dx\geq q,\ \int _{Q_{q}}^{\infty }f(x)dx\geq 1-q}$

を満たす値として定義される。この式は、累積分布関数 ${\displaystyle F(x)}$ または確率 ${\displaystyle P(X)}$ を使って、

${\displaystyle \int _{-\infty }^{Q_{q}}dF(x)\ \geq q,\ \int _{Q_{q}}^{\infty }dF(x)\ \geq 1-q}$

または

${\displaystyle P(X\leq Q_{q})\geq q,\ P(X\geq Q_{q})\geq 1-q}$

とも表せる^[2]。

中央値

1 / 2 分位数を、中央値、メディアン (median)という。中央値は、平均値に代わり、分布を代表する値として使われる。

四分位数

${\displaystyle q/4}$ 分位数を、第 q 四分位数、第 q 四分位点、第 q 四分位値、第 q ヒンジ (quartile, hinge) という。1 / 4 分位数（第1四分位数）を下側四分位数、3 / 4 分位数（第3四分位数）を上側四分位数ともいう^[3]。

単に四分位数といったばあい、第1・第3四分位数を表す。第2四分位数は中央値である。これらは、分布の統計的ばらつきを表すのに使う。

第1・第3四分位数の差 ${\displaystyle Q_{3/4}-Q_{1/4}}$ は、四分位範囲（英: interquartile range, IQR）といい、分布のばらつきの代表値である。分布の代表値として平均値の代わりに中央値を使うときは、IQRを標準偏差や分散の代わりに使う。中央値同様、頑強で、外れ値や極端に広い裾野の影響を受けにくい。

${\displaystyle {\text{IQR}}/2}$ を四分位偏差、${\displaystyle {\text{IQR}}/{\text{IQR}}_{N(0,1)}\approx 0.7413~{\text{IQR}}}$ を正規四分位範囲（英: normalized interquartile range, NIQR）といい、IQRの代わりに使うことがある。ここで、${\displaystyle {\text{IQR}}_{N(0,1)}\approx 1.3490}$ は、標準正規分布のIQRである。正規分布の正規四分位範囲は、標準偏差に等しい。なお係数0.7413を近似値として使うことがある。

四分位数の簡易な求め方として、中央値より上の値の中央値と、中央値より下の値の中央値を使う場合がある。この値を特にヒンジ (hinge) と呼び、それぞれ上側ヒンジ・下側ヒンジ、または、第1・第3ヒンジ（第2ヒンジは中央値）と呼ぶ。ヒンジは、（厳密に計算した）四分位数とは、中央値から離れる方向に少しだけずれる。データ数が多ければずれは小さくなる ^[要出典]。

三分位数・五分位数・十分位数

${\displaystyle q/3}$ 分位数を、第 q 三分位数、第 q 三分位点、第 q 三分位値 (tertile) という。

${\displaystyle q/5}$ 分位数を、第 q 五分位数、第 q 五分位点、第 q 五分位値 (quintile) という。

${\displaystyle q/10}$ 分位数を、第 q 十分位数、第 q 十分位点、第 q 十分位値 (decile) という。

パーセンタイル

${\displaystyle q/100}$ 分位数を、q パーセンタイル、（第）q 百分位数、（第）q 百分位点、（第）q 百分位値、q パーセント点、q %点 (percentile) という。

${\displaystyle 1-q/100}$ 分位数を上側 q パーセント点という。これと対比するときには、${\displaystyle q/100}$ 分位数は下側 q パーセント点という。また、平均が0の対称分布に対し、${\displaystyle 1/2+q/200}$ 分位数を両側 q パーセント点という。このとき、絶対値が両側 q パーセント点以内に、分布の q %が含まれている。

最大値・最小値

0分位数は最小値、1分位数は最大値である^[4]。最大値と最小値の差は範囲あるいはレンジ（英: range）と呼ばれ、分布のばらつきを表す代表値の一種である。