ベクトル空間の双対系

同じ体 K 上の二つのベクトル空間（あるいはより一般に可換環 K 上の加群）X, Y および双線型形式 ⟨⟩: X × Y → K からなる三つ組 (X, Y, ⟨⟩) が双対対^[1]であるとは、

${\displaystyle \forall x\in X\setminus \{0\}\quad \exists y\in Y:\langle x,y\rangle \neq 0,}$

${\displaystyle \forall y\in Y\setminus \{0\}\quad \exists x\in X:\langle x,y\rangle \neq 0}$

を満たすときに言う。またこのとき、双線型形式 ⟨⟩ は X と Y との間に双対性を定めると言う。

• 二つの元 x ∈ X, y ∈ Y が ⟨x, y⟩ = 0 を満たすとき、x と y とは互いに直交すると言う。
• 二つの集合 M ⊂ X, N ⊂ Y が直交するとは、それらが元ごとに直交すること、すなわち M の任意の元と N の任意の元とが必ず直交することを言う。

ベクトル空間 V とその代数的双対空間 V* は双線型形式

${\displaystyle \langle x,f\rangle$ :=f(x)\qquad (x\in V,f\in V^{*})}

に関して双対対を成す。これによって定まる標準内積 (canonical pairing) ⟨⟩: V × V* → K を自然対 (natural pairing) とも呼ぶ。

局所凸位相線型空間 E とその位相的双対空間（連続的双対空間）E′ は双線型形式

${\displaystyle \langle x,f\rangle$ :=f(x)\qquad (x\in E,f\in E')}

に関して双対対を成す（証明にはハーン・バナッハの定理が必要）。

双対対は成分に関して対称的に定義されるので、任意の双対対 (X, Y, ⟨⟩) に対して、

${\displaystyle \langle \rangle ':(y,x)\to \langle x,y\rangle }$

で定まる双線型形式 ⟨⟩′ によって (X, Y, ⟨⟩′) もまた双対対を定める。

数列空間 E とその β-双対（英語版） E^β は双線型形式

${\displaystyle \langle x,y\rangle$ :=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}\qquad (x\in E,y\in E^{\beta })}

に関して双対対を成す。

双対対 (X, Y, ⟨⟩) に付随して、X から Y* への単射が

${\displaystyle x\mapsto (y\mapsto \langle x,y\rangle )}$

と置くことによって得られる。Y から X* への単射も同様に定められる。

特に X, Y の何れか一方が有限次元ならば、この写像は線型同型になる。

• 双対位相
• 極集合
• 極位相
• 簡約双対対（英語版）