写像の反復

集合 X とその上で定義される写像 f: X → X について、非負整数 n に対する f の n 回反復 f ⁿ は

${\displaystyle f^{n}=\overbrace {f\circ f\circ \cdots \circ f} ^{n}}$

${\displaystyle f^{n}:x\mapsto \overbrace {f(f(\cdots f} ^{n}(x)\cdots ))}$

によって定義される^[2]。ここに ∘ は写像の合成、すなわち (f ∘ g)(x) = g(f(x)) を意味する。例えば、

${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$

という写像であれば、その2回反復および3回反復は

${\displaystyle f^{2}(x)={\sqrt {\sqrt {x}}}}$

${\displaystyle f^{3}(x)={\sqrt {\sqrt {\sqrt {x}}}}}$

で与えられる^[5]。他の表記法としては f ^[n] といった書き方もあるが、f ⁿ 表記の使用が多い^[6]。

f ⁰ については、一般に恒等写像として定義する。すなわち、f ⁰(x) = x である^[7]。f が逆写像 f ⁻¹: X → X を持つ場合は、

${\displaystyle f^{-n}:x\mapsto \overbrace {f^{-1}(f^{-1}(\cdots f^{-1}} ^{n}(x)\cdots ))}$

が定義される^[2]。

ℤ を整数全体の集合とする。f を同相写像として、ある点 x ∈ X に対して

${\displaystyle O(x)=\{f^{n}(x);\ n\in \mathbb {Z} \}}$

で与えられる集合 O(x) を、x を通る軌道という^[7]。このとき、点 x は軌道の初期値と呼ばれる^[8]。

点 x が写像 f に対して

${\displaystyle f(x)=x}$

を満たすとき、x を不動点という^[9]。f の全ての不動点の集合を Fix(f ) などと記す^[10]。

また、f と x に対して、

${\displaystyle f^{m}(x)=x}$

を満たす最小の m > 0 を周期といい、点 x を周期 m の周期点という^[10]。f の m 周期の周期点の集合を Per_m(f ) などと記す^[10]。m 周期点 x を通る軌道

${\displaystyle \{\cdots \ f^{m-1}(x),\ \overbrace {x,\ f(x),\ f^{2}(x),\cdots ,\ f^{m-1}(x),\ x} ^{m},\ f(x),\ f^{2}(x),\cdots \}}$

を周期軌道という^[11]。

微分可能な写像 f (x) の n 回反復 f ⁿ(x) の微分係数は、(f ⁿ)′(x) などのように記される^[12]。x ∈ ℝ とする。2回あるいは3回反復の微分は、連鎖律より

${\displaystyle (f^{2})'(x)=f'(f(x))\cdot f'(x)}$

${\displaystyle (f^{3})'(x)=f'(f^{2}(x))\cdot (f^{2})'(x)=f'(f^{2}(x))\cdot f'(f(x))\cdot f'(x)}$

となる^[13]。これを n 回まで拡張すると (f ⁿ)′(x) は

${\displaystyle (f^{n})'(x)=f'(f^{n-1}(x))\cdot f'(f^{n-2}(x))\cdots f'(x)}$

で表される^[14]。最初の点を x₀ として各反復の写る先を (f ¹)′(x₀) = x₁, (f ²)′(x₀) = x₂, …, (f ⁿ)′(x₀) = x_n と表すとすれば、(f ⁿ)′(x₀) は次のようにも表される^[13]。

${\displaystyle (f^{n})'(x_{0})=f'(x_{n-1})\cdot f'(x_{n-2})\cdots f'(x_{0})}$

点 x₀ が周期 m の周期点だとすれば、Per_m(f ) の各点の m 回反復の微分係数は次のように互いに等しい^[13]。

${\displaystyle (f^{m})'(x_{0})=(f^{m})'(x_{1})=\cdots =(f^{m})'(x_{m-1})}$

周期点の微分係数によって、周期点の安定性が判別できる^[12]。