可除群

アーベル群 (G, +) が可除 (divisible) であるとは、すべての正の整数 n とすべての g ∈ G に対して、ある y ∈ G が存在して、ny = g となることをいう^[1]。これは任意の正の整数 n に対して nG = G といっても同じである。なぜならば、すべての n と g に対しての y の存在から nG ⊇ G が言え、逆の nG ⊆ G は任意の群に対して正しいからである。また別の同値条件として、アーベル群 G が可除であることと G がアーベル群の圏における入射対象であることは同値である。この理由のため、可除群は入射群と呼ばれることがある。

アーベル群が素数 p に対して p-可除 (p-divisible) とは、すべての正の整数 n とすべての g ∈ G に対してある y ∈ G が存在して pⁿy = g となることをいう。あるいは同じことだが、アーベル群が p-可除であることと pG = G であることは同値である。

• 有理数全体 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ は加法のもと可除群をなす。
• より一般に、${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 上の任意のベクトル空間を加法群と見たものは可除である。
• 可除群のすべての商群は可除である。したがって、${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ は可除である。
• ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ の p-準素成分（英語版） ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} }$、これは p-準巡回群 ${\displaystyle \mathbb {Z} [p^{\infty }]}$ と同型であるが、可除である。
• 複素数体の乗法群 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ は可除である。
• （モデル理論の意味で）存在閉（英語版）なすべての群は可除である。

• 可除群がアーベル群の部分群であれば直和因子（英語版）である^[2]。
• 任意のアーベル群は可除群に埋め込むことができる^[3]。
• 非自明な可除群は有限生成でない。
• さらに、すべてのアーベル群は可除群に一意的に本質部分群（英語版）として埋め込むことができる^[4]。
• アーベル群が可除であることと全ての素数 p に対して p-可除であることは同値である。
• A を環とする。T が可除群であれば、${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Z} }(A,T)}$ は A 加群の圏において単射的である^[5]。

G を可除群とすると、G の捩れ部分群 Tor(G) は可除である。可除群は入射加群であるから、Tor(G) は G の直和因子（英語版）である。したがって

${\displaystyle G=\operatorname {Tor} (G)\oplus G/\operatorname {Tor} (G)}$

である。可除群の商であるから、G/Tor(G) は可除である。さらに、トーションがない。したがって、これは Q 上のベクトル空間であり、ある集合 I が存在して

${\displaystyle G/\operatorname {Tor} (G)=\textstyle \bigoplus _{i\in I}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{(I)}}$

となる。捩れ部分群の構造は決定するのが難しいが、すべての素数 p に対してある ${\displaystyle I_{p}}$ が存在して

${\displaystyle (\operatorname {Tor} (G))_{p}=\textstyle \bigoplus _{i\in I_{p}}\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})}}$

となることを示すことができる^[6]。ここで ${\displaystyle (\operatorname {Tor} (G))_{p}}$ は Tor(G) の p-準素成分である。

したがって、P を素数全体の集合とすれば、

${\displaystyle G=\left(\bigoplus _{p\in \mathbf {P} }\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})}\right)\oplus \mathbb {Q} ^{(I)}.}$

集合 I および p∈P に対して I_p の濃度は群 G によって一意的に決まる。

上に述べたように、任意のアーベル群 A は可除群 D に本質的部分群（英語版）として一意的に埋め込むことができる。この可除群 D は A の最小の入射拡大 (injective envelope) であり、この概念はアーベル群の圏（Z-加群の圏）における移入包絡である。

アーベル群が被約 (reduced) とは、その可除部分群が {0} のみであることをいう。すべてのアーベル群は1つの可除部分群と1つの被約部分群の直和である。実は、任意の群には一意的な最大の可除部分群が存在して、この可除群は直和因子である^[7]。これは整数環 Z のような遺伝環の特別な性質である：環がネーター的だから移入加群の直和は移入であり、環が遺伝的だから移入加群の商加群は移入的であり、したがって移入加群で生成される任意の部分加群は移入的である。逆は (Matlis 1958) の結果である：任意の加群が一意的な極大移入部分加群を持てば、環は遺伝的である。

可算被約周期的アーベル群の完全な分類はUlmの定理（英語版）によって与えられる。

可除群を可除加群に一般化するいくつかの異なる定義。以下の定義は環 R 上の可除加群 M を定義するために文献で使われている：

1. すべての 0 ≠ r ∈ R に対して rM = M ^[8]。（r が零因子でないことを要求することもあるし、R が整域であることを要求することもある^[9][10]。）
2. すべての主左イデアル Ra に対し、Ra から M への任意の準同型は R から M への準同型に拡張する^[11][12]。（このタイプの可除加群は principally injective module とも呼ばれる。）
3. R のすべての有限生成左イデアル L に対して、L から M への任意の準同型は R から M への準同型に拡張する^[13]。

後ろ2つの条件は移入加群に対する Baer の判定法の「制限バージョン」である。移入左加群はすべての左イデアルからの準同型が R からの準同型へと拡張するから、移入加群は明らかに 2 と 3 の意味で可除である。

R がさらに整域であれば、3つの条件はすべて一致する。R が主左イデアル整域であれば、可除加群は移入加群と一致する^[14]。したがって、主イデアル整域である整数環 Z の場合には、Z 加群（これはちょうどアーベル群）が可除であることと移入的であることは同値である。

R が可換整域であれば、移入 R 加群が可除 R 加群と一致することと R がデデキント整域であることは同値である^[14]。