宇宙速度

第一宇宙速度

地球の重心を中心として速さ ${\displaystyle v}$ の等速円運動をした時に物体の質点を原点とする慣性系で観測した場合質量 ${\displaystyle m}$ の物体に働く遠心力は ${\displaystyle mv^{2}/R}$ である。このとき物体に働く重力は ${\displaystyle GmM/R^{2}}$ である。第一宇宙速度 ${\displaystyle v_{1}}$ は遠心力と重力が釣り合うとして求める。すなわち、

${\displaystyle {\frac {mv_{1}^{2}}{R}}={\frac {GmM}{R^{2}}}}$

より、

${\displaystyle v_{1}={\sqrt {\frac {GM}{R}}}=7.91\times 10^{3}\,\mathrm {m/s} =7.91\,\mathrm {km/s} }$

である。

Google 検索で天体の半径などの天文学の定数が計算可能で、sqrt(天体名の質量*万有引力定数/天体名の半径)という検索式で ${\displaystyle v}$ を求めることができる。

第二宇宙速度

地球から無限遠を基準とすると、質量 m の物体の地球表面における地球重力によって生じる位置エネルギーは、

${\displaystyle U=-\int _{\infty }^{R}\left(-{\frac {GMm}{r^{2}}}\right)dr=-{\frac {GMm}{R}}}$

と表される。この物体に、負の位置エネルギーを打ち消す速さ v₂ の運動エネルギー (1/2)mv 2
2  を与えれば無限遠に達する、即ち地球の重力圏から脱出することができるとして求める。すなわち、

${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {GMm}{R}}=0}$

より、

${\displaystyle v_{2}={\sqrt {\frac {2GM}{R}}}={\sqrt {2}}v_{1}=11.2\,\mathrm {km/s} }$

となる。なお、地球の自転速度は小さいのでここでは無視している。

第三宇宙速度

第二宇宙速度と同様に、地球公転軌道近辺における太陽からの脱出速度は、

${\displaystyle v_{S}={\sqrt {\frac {2GM_{S}}{R_{E}}}}=42.1\,\mathrm {km/s} }$

である。ただし、これは太陽から見た速さなので、地球からの場合、地球の公転運動を差し引かなければならない。地球の公転速度 v_E は地球の公転による遠心力と太陽と地球の引力が釣り合うという関係から求めることができるので、

${\displaystyle v_{E}={\sqrt {\frac {GM_{S}}{R_{E}}}}=29.8\,\mathrm {km/s} }$

である。したがって地球公転軌道からの脱出速度 v_E0 は

${\displaystyle v_{E0}=v_{S}-v_{E}=12.3\,\mathrm {km/s} }$

である。地表から打ち上げる場合には地球の重力を振り切る分だけ速くする必要がある。これは地表での位置エネルギーを打ち消した後に v_E0 の速度になればよいということなので、質量 m の物体の場合に

${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{3}^{2}-{\frac {GMm}{R}}={\frac {1}{2}}mv_{E0}^{2}}$

という関係が成り立つ。したがって、

${\displaystyle v_{3}={\sqrt {{\frac {2GM}{R}}+v_{E0}^{2}}}=16.7\,\mathrm {km/s} }$

である。

精度

以上の値は、星を球・公転軌道を円として計算したものである。実際には、地球の赤道半径と極半径の差は約 2×10⁴ m（平均半径の0.3%）、地球の近日点と遠日点の差は約 5×10⁹ m（同3%）といったズレがあるので、3桁目以降の正確な値を求めるには、これらを考慮する必要がある。