完全微分

定義

線積分

${\displaystyle \int _{\gamma }f_{1}(x)dx^{1}+\cdots +f_{n}(x)dx^{n}}$

の「中身」である

${\displaystyle f_{1}(x)dx^{1}+\cdots +f_{n}(x)dx^{n}}$

を1次の微分形式という：

1次の微分形式の中で特に何らかの関数の全微分の形に書けるものを完全微分、そうでないものを不完全微分という：

なお、滑らかな関数Aに対し、全微分${\displaystyle \mathrm {d} A}$をAの微分形という。 完全微分のポテンシャルは微分積分学の基本定理より定数項を除いて一意である^[1]。すなわち、${\displaystyle \mathrm {d} A_{1}=\mathrm {d} A_{2}}$なら${\displaystyle A_{1}(x)=A_{2}(x)+C}$を満たす定数${\displaystyle C}$が存在する^{[注 3]}。

以上の概念は数学と物理学で名称が異なるので、下記のように表でまとめた：

座標変換に対する不変性

本節では、ある微分形式が完全微分であるか否かは座標系によらない事、すなわち、ある座標系で完全微分/不完全微分なものはそれぞれ、別の座標系でも完全微分/不完全微分である事を示す。

そのためにまず一次形式の変数変換を定義する。M上に（あるいはより一般にMの開集合上に）2つの座標系${\displaystyle x=(x^{1},\ldots ,x^{n})}$、${\displaystyle y=(y^{1},\ldots ,y^{n})}$が定義されているとし、

${\displaystyle \sum _{j}f_{j}(y)\mathrm {d} y^{j}}$ ...(A)

を${\displaystyle y=(y^{1},\ldots ,y^{n})}$で表記された微分形式とする。(A)の${\displaystyle dy^{j}}$を（${\displaystyle y^{j}}$を${\displaystyle x}$の関数${\displaystyle y^{j}=y^{j}(x)}$とみなしたときの）全微分

${\displaystyle dy^{j}=\sum _{i}{\partial y^{j} \over \partial x^{i}}(x)\mathrm {d} x^{i}}$

に置き換えた

${\displaystyle \sum _{i}\left(\sum _{j}f_{j}(y(x)){\partial y^{j} \over \partial x^{i}}(x)\right)\mathrm {d} x^{i}}$ ...(B)

を(A)を座標系${\displaystyle x=(x^{1},\ldots ,x^{n})}$で表記したものとみなす。ここで${\displaystyle y(x)}$は${\displaystyle y}$を${\displaystyle x}$座標で表したものである。全微分は座標変換に対して自然に振る舞う：

よって特に完全微分の概念は座標変換に対して不変である：

上記の定理により、「この微分形式は完全微分である」というとき、どの座標系にとって完全微分であるかを問わなくて良い。後述するように完全微分の概念は熱力学に応用を持つが、熱力学で完全微分の議論をする際、それがSVN座標に対してなのかUVN座標に対してなのかを明示する必要がないのはこの定理があるためである。

完全微分、不完全微分の表記

数学では(1)の（完全微分もしくは不完全微分の）微分形式を

${\displaystyle \omega =f_{1}(x)dx^{1}+\cdots +f_{n}(x)dx^{n}}$

のように${\displaystyle \omega }$や${\displaystyle \eta }$といったギリシア文字で表す事が多い。${\displaystyle \omega }$が完全微分であれば、

${\displaystyle \mathrm {d} A=f_{1}(x)dx^{1}+\cdots +f_{n}(x)dx^{n}}$

のようにポテンシャル${\displaystyle A}$の全微分としても表記できるが、${\displaystyle \omega }$が不完全微分の場合にはこれに類似した表記はない。

一方物理学では不完全微分に対する表記方法も用意している。物理学では(1)を与えられた曲線γに沿って線積分した

${\displaystyle \int _{\gamma }f_{1}(x)dx^{1}+\cdots +f_{n}(x)dx^{n}}$ ...(3)

が何らかの物理量を表している事が多く、(1)の形の不完全微分を(3)のように線積分したものが物理量Bを表しているとき、(3)の「中身」である不完全形式を

${\displaystyle d'B=f_{1}(x)dx^{1}+\cdots +f_{n}(x)dx^{n}}$

のように表す。教科書によっては「${\displaystyle d\!\!\!{}^{-\!\!-}B}$」^[4]、「${\displaystyle \delta B}$」^[5]と表記するものもある。

「${\displaystyle d'}$」は全微分と区別するための「単なる記号」^[5]であり、完全微分と区別する以上の意味はなく^[5]、${\displaystyle d'B}$が具体的になにかの関数の全微分になっている事を意味するわけではない。実際、一般には(3)の線積分${\displaystyle \gamma }$は経路に依存するため、物理量${\displaystyle B}$は${\displaystyle x\in M}$に実数を対応させる関数${\displaystyle x\mapsto \mathbb {R} }$にはならず、各経路${\displaystyle \gamma }$に実数を対応させる関数${\displaystyle \gamma \mapsto \mathbb {R} }$になってしまう。

次節で述べるように、${\displaystyle B}$が${\displaystyle x\in M}$に実数を対応させる関数${\displaystyle x\mapsto \mathbb {R} }$になる必要十分条件は(1)の微分形式が完全微分な事である。

完全微分と経路非依存性

(1)の微分形式が完全微分なら、(3)の線積分が経路に依存しないので、基点${\displaystyle x_{0}\in M}$を固定し、

${\displaystyle A(x)=\int _{x_{0}}^{x}f_{1}(x)dx^{1}+\cdots +f_{n}(x)dx^{n}}$

という（経路に依存せず、基点と終点だけに依存する）物理量を定める事ができる。そして上記のAを全微分した${\displaystyle dA}$が(1)の微分形式に一致する。なお前述のように、${\displaystyle dA}$が(1)の微分形式と一致するAは定数項を除いて一意である。

具体例

熱力学ではMは熱力学的な「平衡状態」の空間であり^[7]、具体的には物理的な系の内部エネルギー、体積、物質量（＝モル数）といった変数で記述される空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$である^{[注 6][注 7]}。

完全微分として表せる量としては温度、圧力、体積などがある。温度${\displaystyle T}$は平衡状態${\displaystyle x\in M}$に実数を対応させる関数

${\displaystyle x\in M\mapsto T(x)\in \mathbb {R} }$

として定式化できる量であり、したがってその全微分${\displaystyle dT}$（これは定義により完全微分）の線積分

${\displaystyle T=\int _{\gamma }\mathrm {d} T}$

としても書ける。そしてこの線積分の結果は経路${\displaystyle \gamma }$によらず、${\displaystyle \gamma }$の終点${\displaystyle x\in M}$のみで決まるである^{[注 8]}。

一方、不完全微分で記述される物理量の具体例としては力学的仕事${\displaystyle W}$がある。${\displaystyle P,~V~:~M\to \mathbb {R} }$を${\displaystyle M}$の各点が表す平衡状態の圧力および体積とするとき、力学的仕事は不完全微分

${\displaystyle \mathrm {d} 'W=P\mathrm {d} V}$

を線積分した

${\displaystyle W=\int _{\gamma }\mathrm {d} 'W=\int _{\gamma }P\mathrm {d} V}$

の形で定式化される。よってM上でどのような経路${\displaystyle \gamma }$をたどったかによって力学的仕事は異なってしまう^[8]。

熱力学では平衡状態${\displaystyle x\in M}$に実数を対応させる関数として定式化できる物理量を状態量と呼ぶ。よって温度${\displaystyle T}$は状態量だが力学的仕事${\displaystyle W}$は状態量ではない。上述の定理より、(1)の微分形式が完全微分か否かは、(3)の線積分の結果得られる物理量が状態量であるか否かを特徴づける事になる。

ポアンカレの補題

以上で説明したように、微分形式が完全微分か否かは物理的に重要な意味を持つため、本節では微分形式が完全微分であるための条件を見る。

${\displaystyle \textstyle \omega =\sum _{i}f_{i}(x)\mathrm {d} x^{i}}$を微分形式とするとき、${\displaystyle \omega }$が完全微分であれば、${\displaystyle \omega =dA}$となる${\displaystyle A}$が存在し、${\displaystyle f_{i}(x)={\tfrac {\partial A}{\partial x^{i}}}}$を満たすので、${\displaystyle \textstyle {\partial f_{i} \over \partial x^{j}}={\partial ^{2}A \over \partial x^{i}\partial x^{j}}={\partial f_{j} \over \partial x^{i}}}$となる。したがって

${\displaystyle {\partial f_{i} \over \partial x^{j}}(x)={\partial f_{j} \over \partial x^{i}}(x)}$ for ${\displaystyle \forall i,j,x}$

はωが完全微分であるための必要条件となる。

逆に上記の条件が成立しても${\displaystyle \omega =dA}$となる${\displaystyle A}$がMの全域で定義された（一価の^{[注 9]}）関数として存在するとは限らない。しかし上記の条件を満たせば局所的にはそのような${\displaystyle A}$が存在する事が知られている：

一般には上記の定義で局所的に存在を保証されたAをMの全域に拡張しようとすると、Aは多価関数になってしまう。

例えば${\displaystyle \omega }$が原点以外の2次元平面${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}}$で定義されているとき^{[注 11]}には原点の周りを「右回り」の曲線に沿ってAを拡張したのか、「左回り」の曲線に沿ってAを拡張したかによってAの値は変わってしまう場合がある（右図）。同様にMがトーラスであればトーラスの周りを「右回り」にAを拡張したのか、「左回り」に拡張したかによってAの値は変わってしまう場合がある。

Mが単連結であれば（あるいはより一般に1次のコホモロジー群${\displaystyle H^{1}(M)}$が0であれば）、このような多価性の問題は生じず、AをMの全域に拡張できる。詳細はド・ラームコホモロジーの項目を参照されたい。