スケールパラメータ

位置母数を持つ族

確率分布の族が位置母数を持つ場合、微妙に異なる定義が使用される。位置母数を${\displaystyle m}$、尺度母数を${\displaystyle s}$で表すとし、さらに${\displaystyle F(x,s,m,\theta )}$でその確率分布の累積分布関数を表すとした時、${\displaystyle F(x;s,m,\theta )=F((x-m)/s;1,0,\theta )}$が成立する^[1]。この変更により、例えば正規分布の平均値が0でない場合でも標準偏差パラメータを尺度母数として扱うことができるようになる。ただし、必ずしもこの代用的な定義が利用されているわけでもない^[2]。

確率密度関数

確率分布が確率密度関数を持つとし、それを(${\displaystyle \theta }$依存性を省略して)${\displaystyle f_{s}(x)}$と書いたとする。さらに${\displaystyle f(x)\equiv f_{s=1}(x)}$を定義すると、以下が成立する:

${\displaystyle f_{s}(x)={\frac {1}{s}}f\left({\frac {x}{s}}\right)}$

これを示すには、累積分布関数の定義を利用する:

${\displaystyle F(x;s)=\int _{-\infty }^{x}f_{s}(t)dt}$

${\displaystyle F(x/s;1)=\int _{-\infty }^{x/s}f(t)dt}$

ここで、後者の積分について${\displaystyle u=st}$なる変数変換の下で置換積分を行い

${\displaystyle F(x/s;1)={\frac {1}{s}}\int _{-\infty }^{x}f\left({\frac {u}{s}}\right)du}$

とできる。ここで、尺度母数の定義より

${\displaystyle F(x;s)=F(x/s;1)}$

であったから、

${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}f_{s}(t)dt={\frac {1}{s}}\int _{-\infty }^{x}f\left({\frac {t}{s}}\right)dt}$

が成立する。これを${\displaystyle x}$について微分すれば示すべき式が得られる。