ラジアン

解析学における利点

微分積分学において三角関数を扱う際、変数の単位にラジアン（あるいは単位を明記しない実数）を採用することで、極限

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\sin h}{h}}=1}$

が成立する。この結果、三角関数の導関数の公式

${\displaystyle (\sin \theta )^{\prime }=\cos \theta }$

において係数が 1 となり、形式が最も簡潔になる。多くの数学書において、この性質がラジアンを用いる「自然な」理由として説明される^[5]。量方程式の観点からは式の形は単位の選び方によらないという議論もあるが^[6]。

計量学の厳密な観点（国際量体系）からは、これらの公式が簡潔になるのは「単位にラジアンを選んだから」ではなく、角度という量を「弧と半径の比（無次元量）」と定義したことによる帰結であると説明される^[7]。しかし、実用上の数値計算や解析学の運用においては、この定義に合致する単位がラジアンであるため、結果としてラジアンを用いることが最適となる。

物理学・工学における利点

物理学や工学（特に電気工学や力学）では、ラジアンがSI組立単位として一貫性を持つことが重要視される。 例えば、電気回路においてインダクタンス L を持つコイルに発生する誘導起電力の大きさ V は、角周波数 ω (rad/s) を用いると

${\displaystyle V=\omega LI}$

のように係数を含まない形で記述できる。これを度数法や回転数 (Hz) ベースで計算しようとすると、2π や 360 といった係数を都度補正する必要が生じる。単位にラジアンを用いることで、数値方程式と量方程式の形式が一致し、計算の見通しが良くなる。

度数法を用いた場合との比較

仮に度数法を採用して解析学を展開しようとした場合、次のような係数の煩雑さが生じる。

各実数 t に対して、半径 r の円周上の点 P が t ° 回転したときの座標を (x, y) とし、度数法に基づく三角関数を sin^* t = y / r、cos^* t = x / r と定義してみる^{[註 1]}。 この関数 sin^* と、通常の（ラジアンに基づく）三角関数 sin の間には、

${\displaystyle \sin ^{*}t=\sin \left({\frac {\pi }{180}}\,t\right),\quad \cos ^{*}t=\cos \left({\frac {\pi }{180}}\,t\right)}$

という関係が成り立つ。これを変数 t で微分すると、合成関数の微分法より

${\displaystyle {\begin{aligned}(\sin ^{*}t)^{\prime }&=\cos \left({\frac {\pi }{180}}\,t\right)\cdot \left({\frac {\pi }{180}}\,t\right)^{\prime }\\&={\frac {\pi }{180}}\cos ^{*}t\end{aligned}}}$

となる^[5]。 このように、度数法を用いると導関数に係数 ${\displaystyle {\frac {\pi }{180}}}$ が現れ、公式が複雑になる。これが、数学的な理論体系においてラジアンが好まれる理由である。

ラジアンの分量

• ミリラジアン (mrad) = ラジアンの1000分の1 = 約 0.05729578° = 約 206.2648″ = 約 3′26.2648″

ミルは、ミリラジアンから派生した単位である。ミルの定義はさまざまであり、NATOの定義では

1ミル = 360°/6400 = 0.05625° = 3′22.50″
であり、ミリラジアンとは異なる単位である。

• マイクロラジアン (μrad) = ラジアンの100万分の1 = 約 0.2062648″

ラジアン毎秒

ラジアン毎秒（ラジアンまいびょう、記号: rad/s）は、国際単位系における角速度の単位である。ラジアン毎秒は、1秒間に1ラジアンの角速度と定義される。

ラジアン毎秒毎秒

ラジアン毎秒毎秒（ラジアンまいびょうまいびょう、記号: rad/s²）は、国際単位系における角加速度の単位である。ラジアン毎秒毎秒は、1秒間に1ラジアン毎秒の角加速度と定義される。