恒等写像

厳密に述べれば、M を集合として、M 上の恒等写像 f とは、定義域および終域がともに M であるような写像であって、M の任意の元 x に対して

f(x) = x

を満たすものを言う^[2]。言葉で書けば、M 上の恒等写像は、M の各元 x に x 自身を対応させて得られる M から M への一つの写像である^[3]。

M 上の恒等写像はしばしば id_M や 1_M などで表される。

写像を二項関係と見るならば、恒等写像は恒等関係と呼ばれる函数関係（英語版）、即ち M の対角集合 (diagonal set) Δ = {(x, x) | x ∈ M} で与えられる^[4]。

f: M → N を任意の写像とすると、

${\displaystyle f\circ {\text{id}}_{M}=f={\text{id}}_{N}\circ f}$

が成り立つ（"∘" は写像の合成）。特に、id_M は M から M への写像（M 上の変換）全体の成す集合が合成に関して成す半群（M 上の全変換半群（英語版））T_M における単位元（中立元）であり、従って T_M はモノイドを成す。

モノイドの単位元はただ一つであるから、M 上の恒等写像の別な定義として、全変換モノイドの単位元として定めることも可能である。このような定義は、圏論における恒等射の概念に一般化することができる。この文脈では M 上の自己型射が写像である必要はない。

• 正整数全体の成す乗法モノイドの上で恒等写像を考えると、それは本質的に 1-倍写像であり、また数論的函数の意味で完全乗法的（英語版）である^[5]
• ベクトル空間上の恒等写像は線型写像である^[6]。n-次元線型空間上の恒等写像は n × n 単位行列 I_n を表現行列に持つが、これは基底の取り方に依らない^[7]。
• 距離空間における恒等写像は自明な意味で等長写像である。いかなる対称性も持たない任意の対象が、恒等写像のみからなる自明群を対称変換群として持つ（対称型が C₁ である）^[8]。
  • 単に台集合 X 上の恒等写像 id_X を考えた場合、X 上の異なる距離 d₁, d₂ に関して、恒等写像 id_X は二つの距離空間 (X, d₁), (X, d₂) の間の等距変換とはならない。
• 位相空間 (X, τ₁), (X, τ₂) と台集合 X 上の恒等写像 I_X を考えたとき、I_X が連続写像となるための必要十分条件は、τ₁ が τ₂ よりも細かいことである。