指標表

有限群 G の複素数体 C 上既約表現 X: G → GL_n(C) に対して写像 χ = Tr X: G → C を次数 n の既約指標という。既約指標の数と共役類の数は等しい。群 G の既約指標 χ₁, …, χ_k と共役類の完全代表系 g₁, …, g_k に対して正方行列 T = [ χ_i(g_j) ]_{1 ≤ i, j ≤ k} を指標表という^[1]。指標は類関数なので指標表は矛盾なく定まるが、行と列に関する入れ替えを除いてしか決まらない。

以下では群とは有限群のことを指す。群 G の既約指標のなす集合を Irr(G) とおく。群 G の元 g に対して g^G は共役類、C_G(g) は中心化群を表す。

• 直交関係が成り立つ。
  • ${\displaystyle {\frac {1}{\vert G\vert }}\sum _{g\in G}\chi (g){\overline {\psi (g)}}=\delta _{\chi \psi }\qquad (\chi ,\psi \in \operatorname {Irr} (G))}$
  • ${\displaystyle {\frac {1}{\vert C_{G}(g)\vert }}\sum _{\chi \in \operatorname {Irr} (G)}\chi (g){\overline {\chi (h)}}=\delta _{g^{G}h^{G}}\qquad (g,h\in G)}$
  • ここで |G| は群 G の位数。
• 群の位数と既約指標の次数の二乗和は等しい（直交関係の特別な場合）。
• 線型指標―すなわち次数1の指標―の数と交換子群の指数は等しい。
• 既約指標の次数は群の位数を割り切る。
• 群の正規部分群のなす束がわかる。より正確に述べると、群 G のすべての正規部分群は既約指標の核 kerχ = { g ∈ G | χ(1) = χ(g) } のいくつかの共通部分で表せる。
• 群の単純性を判定できる。（直前の性質から正規部分群についてわかるため。）
• 正規部分群 N による商 G/N の既約指標は自然な一対一対応によって G の既約指標と見做せる。
  • Irr(G/N) ↔ { χ ∈ Irr(G) | N ≤ kerχ }

非自明な可約表現の表現行列 R は、相似変換によってブロック行列 R_i ≠ 0 に分解することができる。

${\displaystyle \mathbf {R} \sim {\begin{bmatrix}\mathbf {R} _{1}&0&\cdots &0\\0&\mathbf {R} _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\mathbf {R} _{n}\end{bmatrix}}}$

それ以上ブロック行列に分解できなくなったとき、それぞれのブロック行列は既約表現の表現行列となる。

相似変換をしても指標は変化しない。また可約表現の表現行列の指標は、それぞれのブロック行列の指標を足し合わせたものと等しい。よってある可約表現が与えられたときに、指標表のみを用いて既約表現に分解することができる。ここで可約表現に現れる既約表現の重複度 ${\displaystyle n_{i}}$ は、次のように与えられる。

${\displaystyle n_{i}={\frac {1}{\vert G\vert }}\sum _{g\in G}\chi _{r}(g){\overline {\chi _{i}(g)}}.}$

ここで ${\displaystyle \chi _{i}}$ は既約表現の指標、${\displaystyle \chi _{r}}$ は可約表現の指標、|G| は群 G の位数である。この式は指標表の直交関係から直ちに導かれ、簡約公式などと呼ばれる^[2]。