数演算子

エルミート性

数演算子${\displaystyle {\hat {N}}}$はエルミート演算子である。

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証明
数演算子の定義${\displaystyle {\hat {N}}\equiv {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}$、エルミート演算子の性質${\displaystyle (AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }}$と、${\displaystyle (A^{\dagger })^{\dagger }=A}$より、 ${\displaystyle {\hat {N}}^{\dagger }=({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}})^{\dagger }={\hat {a}}^{\dagger }({\hat {a}}^{\dagger })^{\dagger }={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}={\hat {N}}}$

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生成消滅演算子との交換関係

数演算子と生成消滅演算子との交換関係は以下のようになる。これは、数演算子の固有値を増減させる昇降演算子の定義でもある。

${\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {a}}]=-{\hat {a}}}$

${\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {a}}^{\dagger }]={\hat {a}}^{\dagger }}$

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証明

交換関係の性質として${\displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B}$が成り立つ。ここへ${\displaystyle A={\hat {a}}^{\dagger }}$、${\displaystyle B={\hat {a}}}$、${\displaystyle C={\hat {a}}}$を代入すると、 ${\displaystyle [{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}},{\hat {a}}]={\hat {a}}^{\dagger }[{\hat {a}},{\hat {a}}]+[{\hat {a}}^{\dagger },{\hat {a}}]{\hat {a}}}$ 数演算子の定義${\displaystyle {\hat {N}}\equiv {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}$、交換関係の性質${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}]=0}$、生成消滅演算子の定義${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=1}$を代入すると、 ${\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {a}}]=-{\hat {a}}}$ 2つ目の式についても同様。

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固有値は非負

数演算子の固有値方程式は、

${\displaystyle {\hat {N}}|N\rangle =N|N\rangle }$

この固有値${\displaystyle N}$は非負である。

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証明

固有値方程式${\displaystyle {\hat {N}}|N\rangle =N|N\rangle }$の左から${\displaystyle \langle N|}$をかけると、 ${\displaystyle \langle N|{\hat {N}}|N\rangle =N\langle N|N\rangle }$ 数演算子の定義${\displaystyle {\hat {N}}\equiv {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}$、固有ベクトルの規格化${\displaystyle \langle N|N\rangle =1}$を代入すると、 ${\displaystyle \langle N|{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}|N\rangle =N}$ この左辺は ${\displaystyle \langle N|{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}|N\rangle =||({\hat {a}}|N\rangle )||^{2}\geq 0}$

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固有ベクトルへの消滅演算子の作用

数演算子の固有ベクトルに消滅演算子が作用すると、

${\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle ={\sqrt {N}}|N-1\rangle }$

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証明

${\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {a}}]=-{\hat {a}}}$の両辺に${\displaystyle |N\rangle }$をかけると、 ${\displaystyle {\hat {N}}{\hat {a}}|N\rangle -{\hat {a}}{\hat {N}}|N\rangle =-{\hat {a}}|N\rangle }$ 左辺第2項を右辺に移項すると、 ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {N}}{\hat {a}}|N\rangle &={\hat {a}}{\hat {N}}|N\rangle -{\hat {a}}|N\rangle \\&={\hat {a}}N|N\rangle -{\hat {a}}|N\rangle \\&=(N-1){\hat {a}}|N\rangle \\\end{aligned}}}$ この式は、${\displaystyle {\hat {N}}}$の固有値${\displaystyle N-1}$に対する固有ベクトル${\displaystyle |N-1\rangle }$が${\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle }$であることを言っている。 ただし${\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle }$は規格化されていないので、より正確にいえば比例している。 ${\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle =c|N-1\rangle }$ 上述の${\displaystyle ||({\hat {a}}|N\rangle )||^{2}=N}$に代入すると${\displaystyle |c|^{2}=N}$なので、正に選べば ${\displaystyle c={\sqrt {N}}}$ よって ${\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle ={\sqrt {N}}|N-1\rangle }$

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固有値は整数

数演算子の固有値は整数である。

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証明

固有値${\displaystyle N}$が整数でないとする。 上述のように、ある固有値${\displaystyle N}$に対する固有ベクトル${\displaystyle |N\rangle }$に消滅演算子を作用させると${\displaystyle |N-1\rangle }$ができる。 ${\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle ={\sqrt {N}}|N-1\rangle }$ よって消滅演算子をくり返し作用させていくと、いつかは${\displaystyle N<0}$である${\displaystyle |N\rangle }$が作れてしまい、${\displaystyle N}$の非負性と矛盾する。 固有値${\displaystyle N}$が整数だと、${\displaystyle N=0}$に対する固有ベクトル${\displaystyle |0\rangle }$に消滅演算子が作用すると以下のようにベクトルは消えてしまい、${\displaystyle N<0}$の${\displaystyle |N\rangle }$が作れないことがわかる。 ${\displaystyle {\hat {a}}|0\rangle =0}$ よって${\displaystyle N}$の非負性と整合している。

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よって数演算子の固有値は非負の整数である。

固有ベクトルへの生成演算子の作用

固有ベクトルに生成演算子が作用すると、

${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }|N\rangle ={\sqrt {N+1}}|N+1\rangle }$

となる。真空状態${\displaystyle |0\rangle }$に生成演算子N回作用させた場合は、

${\displaystyle ({\hat {a}}^{\dagger })^{N}|0\rangle ={\sqrt {N!}}|N\rangle }$

よって、

${\displaystyle |N\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N!}}}({\hat {a}}^{\dagger })^{N}|0\rangle }$