極と極線

極線の計算

一般化された円錐曲線は平面直交座標系(x , y)で、二次曲線として次の式で表すことができる。

$${\displaystyle A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0}$$

ただし${\displaystyle A_{xx},A_{xy},A_{yy},B_{x},B_{y},C}$は定数とする。点(ξ, η)の極線の方程式は次の形で与えられる。

$${\displaystyle Dx+Ey+F=0\,}$$

ただし

$${\displaystyle {\begin{aligned}D&=A_{xx}\xi +A_{xy}\eta +B_{x}\\E&=A_{xy}\xi +A_{yy}\eta +B_{y}\\F&=B_{x}\xi +B_{y}\eta +C\end{aligned}}}$$

極の計算

直線${\displaystyle Dx+Ey+F=0}$の非退化円錐曲線$${\displaystyle A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0}$$に関する極は次の2つの過程で求まる。

まず次の式のx,y,zを求める。

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{xx}&A_{xy}&B_{x}\\A_{xy}&A_{yy}&B_{y}\\B_{x}&B_{y}&C\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}D\\E\\F\end{bmatrix}}}$$

${\displaystyle \left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)}$が与えられた直線の極となる。

極と極線の関係の表

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円錐曲線	円錐曲線の方程式	${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$の極線
円	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$	${\displaystyle x_{0}x+y_{0}y=r^{2}}$
楕円	${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}$	${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$
双曲線	${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}$	${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$
放物線	${\displaystyle y=ax^{2}}$	${\displaystyle y+y_{0}=2ax_{0}x}$

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円錐曲線	円錐曲線の方程式	直線u x + v y = wの極
円	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$	${\displaystyle \left({\frac {r^{2}u}{w}},\;{\frac {r^{2}v}{w}}\right)}$
楕円	${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}$	${\displaystyle \left({\frac {a^{2}u}{w}},\;{\frac {b^{2}v}{w}}\right)}$
双曲線	${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}$	${\displaystyle \left({\frac {a^{2}u}{w}},\;-{\frac {b^{2}v}{w}}\right)}$
放物線	${\displaystyle y=ax^{2}}$	${\displaystyle \left(-{\frac {u}{2av}},\;-{\frac {w}{v}}\right)}$

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完全四辺形

射影幾何学では、平面上の任意の2直線は必ず交わるとされる。 4つの直線は完全四辺形（英語版）と呼ばれる四角形を成す。また4点を結ぶ直線の交点は対角点（diagonal point）と呼ばれる。

円錐曲線C上にない点Zを与え、Zを通る2つCの割線を作る。割線とCの交点A,B,D,Eから完全四辺形を作る。するとZはこの完全四辺形の対角点の一つとなる。他の二つの対角点を結ぶ直線はZの極線となる（ブロカールの定理、Brocard's theorem）^[2][11]。